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1.5 韦达定理降阶法 这种方法抛开了繁琐的待定系数法, 无论自由项是哪一种类型, 均可通过积分运算求出方程的特解, 进而求出通解. 这种方法非常巧妙, 也不涉及到更高深的理论, 推荐考研的同学熟练掌握这种方法. 设二阶常系数非齐次线性微分方程 \[y ^ {\prime \prime} + p y 阅读全文
posted @ 2026-03-26 22:22
梧桐鹿
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1.4 微分算子法 二阶常系数线性非齐次方程的算子解法要比以往的待定系数法求解特解更加快捷高效, 有计算量小且运用灵活的优点. 定义1.2 记 \[D=\frac{{\rm d}}{{\rm d}x},D^2=\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2},D^n=\frac{{\rm d 阅读全文
posted @ 2026-03-23 22:40
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数列 \(\{x_n\}\) 定义如下: \(x_0=1\) 且对于 \(n\geqslant 0\) \[x_{n+1}=\ln\left(e^{x_n}-x_n\right) \]证明无穷级数 \(x_0+x_1+x_2+\cdots\) 收敛并求其和. 此题出自普特南数学竞赛 考虑更一般的命题 阅读全文
posted @ 2026-03-23 21:42
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1.3 待定系数法 定理 1.6 (广义叠加原理) 设 \(y _ { 1 } , y _ { 2 }\) 分别是 \(L [ y ] = f _ { 1 } ( x ) , L [ y ] = f _ { 2 } ( x )\) 的解, 则 \(y _ { 1 } + y _ { 2 }\) 是 阅读全文
posted @ 2026-03-21 23:52
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设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续, 证明: \(\displaystyle \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}{f(x^n)\,{\rm d}x}=f(0)\). 证法一：\(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续, 阅读全文
posted @ 2026-03-21 22:45
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设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上具有一阶连续导数，若 \(\displaystyle\int_0^{1/2}f(x)\,{\rm d}x=0\) 。求证：存在不同的 \(\xi,\eta\in(0,1)\) ，使得 \[3f(\eta)=\frac{f(\xi)}{\xi^3} \] 阅读全文
posted @ 2026-03-21 22:35
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设 \(n(n\geqslant2)\) 个正实数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 满足 \(a_1\leqslant a_2\leqslant\cdots\leqslant a_n\). 证明: \[\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}\left(a_i+ 阅读全文
posted @ 2026-03-21 22:01
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定理1.4 对于特殊形式的一阶微分方程 \[y P (x y) \mathrm {d} x + x Q (x y) \mathrm {d} y = 0 \]其中函数 \(P ( u ) , Q ( u )\) 连续, 可微且 \(P ( u ) \neq Q ( u )\) . 则有如下积分因子 \ 阅读全文
posted @ 2026-03-21 20:54
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定理1.2 若存在一函数 \(\varphi(x,y)\in C^1\) 使得 \(\operatorname{div} X=f(\varphi(x,y))X(\varphi(x,y))\),则 \[\mu(\varphi(x, y))=\operatorname{e}^{-\int f(\varp 阅读全文
posted @ 2026-03-21 19:58
梧桐鹿
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本专题会介绍求解微分方程的各种方法, 诸如积分因子法、微分算子法、常数变易法、韦达定理降阶法、拉 普拉斯变换法、留数法等都会有所涉及.个人认为,求解微分方程特解的时候,这些方法是远远优于传统教材中的 待定系数法的, 相信读者在看完本专题后, 以后求解微分方程会更加得心应手, 灵活变通！ 1.1 一阶 阅读全文
posted @ 2026-03-21 18:10
梧桐鹿
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