每日一题20260323

设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续, 证明: \(\displaystyle \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}{f(x^n)\,{\rm d}x}=f(0)\).

证法一：\(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续, 则任给 \(\epsilon>0\), 存在 \(\delta >0\), 当 $|x|<\delta $ 时, 有

\[\left|f(x)-f(0)\right|<\epsilon \]

由闭区间连续函数必有界知, \(\exist M>0\) 使得 \(x\in[0,1]\) 时

\[|f(x)-f(0)|<M \]

固定 \(\delta\), 取 \(0<\eta<1\) 使得 \(M(1-\eta)<\varepsilon\), 并取正整数 \(N\) 使得

\[0\leqslant x\leqslant \eta \quad\Rightarrow\quad 0\leqslant x^N \leqslant\delta \]

当 \(n>N\) 时就有

\[\begin{align*} \left|\int_0^1f(x^n)-f(0)\,{\rm d}x\right|&\leqslant \int_0^\eta |f(x^n)-f(0)|\,{\rm d}x+\int_\eta^1 |f(x^n)-f(0)|\,{\rm d}x\\ &\leqslant \eta \varepsilon+M(1-\eta)\\ &<(1+\eta)\varepsilon\\ &<2\varepsilon \end{align*} \]

依极限定义有

\[\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}{f(x^n)\,{\rm d}x}=f(0) \]

证法二：对任意 \(\varepsilon\in(0,1)\), 有

\[\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^{1-\varepsilon}f(x^n)\,{\rm d}x=(1-\varepsilon)f(0) \]

显然 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上有界, 设界为 \(M>0\), 则

\[\forall x\in(0,1)\quad-M<f(x)<M \]

\[-M\varepsilon<\int_{1-\varepsilon}^1f(x^n)\,{\rm d}x< M\varepsilon \]

即

\[\int_0^{1-\varepsilon}f(x^n)\,{\rm d}x-M\varepsilon<\int_0^1f(x^n)\,{\rm d}x<\int_0^{1-\varepsilon}f(x^n)\,{\rm d}x+M\varepsilon \]

\(n\to\infty\) 时有

\[(1-\varepsilon)f(0)-M\varepsilon<\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^1f(x^n)\,{\rm d}x<(1-\varepsilon)f(0)+M\varepsilon \]

令 \(\varepsilon \to 0^+\), 由夹逼准则即有

\[\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}{f(x^n)\,{\rm d}x}=f(0) \]