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1.3 待定系数法 定理 1.6 (广义叠加原理) 设 \(y _ { 1 } , y _ { 2 }\) 分别是 \(L [ y ] = f _ { 1 } ( x ) , L [ y ] = f _ { 2 } ( x )\) 的解, 则 \(y _ { 1 } + y _ { 2 }\) 是 阅读全文
posted @ 2026-03-21 23:51
梧桐鹿
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设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续, 证明: \(\displaystyle \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}{f(x^n)\,{\rm d}x}=f(0)\). 证法一：\(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续, 阅读全文
posted @ 2026-03-21 22:45
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设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上具有一阶连续导数，若 \(\displaystyle\int_0^{1/2}f(x)\,{\rm d}x=0\) 。求证：存在不同的 \(\xi,\eta\in(0,1)\) ，使得 \[3f(\eta)=\frac{f(\xi)}{\xi^3} \] 阅读全文
posted @ 2026-03-21 22:35
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设 \(n(n\geqslant2)\) 个正实数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 满足 \(a_1\leqslant a_2\leqslant\cdots\leqslant a_n\). 证明: \[\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}\left(a_i+ 阅读全文
posted @ 2026-03-21 22:01
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定理1.4 对于特殊形式的一阶微分方程 \[y P (x y) \mathrm {d} x + x Q (x y) \mathrm {d} y = 0 \]其中函数 \(P ( u ) , Q ( u )\) 连续, 可微且 \(P ( u ) \neq Q ( u )\) . 则有如下积分因子 \ 阅读全文
posted @ 2026-03-21 20:54
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定理1.2 若存在一函数 \(\varphi(x,y)\in C^1\) 使得 \(\operatorname{div} X=f(\varphi(x,y))X(\varphi(x,y))\),则 \[\mu(\varphi(x, y))=\operatorname{e}^{-\int f(\varp 阅读全文
posted @ 2026-03-21 19:58
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本专题会介绍求解微分方程的各种方法, 诸如积分因子法、微分算子法、常数变易法、韦达定理降阶法、拉 普拉斯变换法、留数法等都会有所涉及.个人认为,求解微分方程特解的时候,这些方法是远远优于传统教材中的 待定系数法的, 相信读者在看完本专题后, 以后求解微分方程会更加得心应手, 灵活变通！ 1.1 一阶 阅读全文
posted @ 2026-03-21 18:10
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利用 \[\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin \pi x} \]得到 \[\sin \pi x=\frac{\pi}{-x\Gamma(x)\Gamma(-x)} \]由Weierstrass公式易得 \[\frac1{\Gamma(x)}=xe^{\gamma 阅读全文
posted @ 2026-03-21 17:23
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基于祖暅原理推导球体体积 1. 祖暅原理 祖暅原理指出：“幂势既同，则积不容异”。即夹在两个平行平面之间的两个几何体，若在任意等高处的水平截面积均相等，则这两个几何体的体积必定相等。 2. 构造几何模型 设正方体的棱长为 \(r\)。构造以下两个几何模型： 模型一（左图）：棱长为 \(r\) 的正方 阅读全文
基于祖暅原理推导球体体积 1. 祖暅原理 祖暅原理指出：“幂势既同，则积不容异”。即夹在两个平行平面之间的两个几何体，若在任意等高处的水平截面积均相等，则这两个几何体的体积必定相等。 2. 构造几何模型 设正方体的棱长为 \(r\)。构造以下两个几何模型： 模型一（左图）：棱长为 \(r\) 的正方 阅读全文
posted @ 2026-03-21 11:24
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