每日一题20260322

设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上具有一阶连续导数，若 \(\displaystyle\int_0^{1/2}f(x)\,{\rm d}x=0\) 。求证：存在不同的 \(\xi,\eta\in(0,1)\) ，使得

\[3f(\eta)=\frac{f(\xi)}{\xi^3} \]

解法一：构造辅助函数

\[F(x)=\left(\int_0^xf(t)\,{\rm d}t\right)\cdot {\rm e}^{-x^3} \]

注意到 \(F(0)=F(1/2)=0\)，且

\[F'(x)=\left(f(x)-3x^2\int_0^xf(t)\,{\rm d}t\right)\cdot {\rm e}^{-x^3} \]

由罗尔定理知存在 \(\xi \in (0,1/2)\)，使得

\[f(\xi)=3\xi^2\int_0^\xi f(x)\,{\rm d}x \]

由积分第一中值定理知。存在 \(\eta \in(0,\xi)\) 使得

\[\int_0^\xi f(x)\,{\rm d}x=\xi f(\eta) \]

至此，原命题得证。

解法二：考虑常数K值法，只需证明存在不同的 \(\xi,\eta\in(0,1)\) ，使得

\[\begin{cases} f(\eta)=\dfrac{K}{3}\\ \dfrac{f(\xi)}{\xi^3}=K \end{cases} \]

即可。这里取 \(\eta\in\left(\dfrac12,\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)\)，\(\dfrac{K}{3}\) 为 \(f(x)\) 在 \((0,1)\) 上值域中的值。根据闭区间上连续函数的界值定理有

\[f(\eta)=\dfrac{K}{3} \]

对 \(\displaystyle\int_0^{1/2}f(x)\,{\rm d}x=0\) 用积分第一中值定理知，存在 \(x_0\in(0,1/2)\) 使得 \(f(x_0)=0\)。

构造辅助函数 \(F(x)=f(x)-Kx^3\) ，则有

\[F(\eta)=K\left(\frac{1}{3}-x^3\right) \]

\[F(x_0)=-Kx_0^3 \]

显然 \(F(\eta)\) 与 \(F(x_0)\) 的符号相异，由零点定理知，存在 \(\xi\in(x_0,\eta)\)，使得

\[\dfrac{f(\xi)}{\xi^3}=K \]

至此，原命题得证。