定理1.4 对于特殊形式的一阶微分方程
\[y P (x y) \mathrm {d} x + x Q (x y) \mathrm {d} y = 0
\]
其中函数 \(P ( u ) , Q ( u )\) 连续, 可微且 \(P ( u ) \neq Q ( u )\) . 则有如下积分因子
\[\mu (x, y) = (x y [ P (x y) - Q (x y) ]) ^ {- 1}
\]
证明：取 \(\varphi ( x , y ) = x y [ P ( x y ) - Q ( x y ) ]\)
\[\begin{align*}
\frac{\operatorname{div} X}{X(\varphi(x, y))}&=\frac{Q(x y)-P(x y)+x y\left(Q^{\prime}(x y)-P^{\prime}(x y)\right)}{\left.x y(Q(x y)-P(x y))(P(x y)+Q(x y))+x^{2} y^{2}(P(x y))-Q(x y)\right)\left(Q^{\prime}(x y)-P^{\prime}(x y)\right)}\\
&= \frac{1}{x y[P(x y)-Q(x y)]}=\frac{1}{\varphi(x, y)}
\end{align*}
\]
于是
\[\mu(\varphi(x, y))=\mathrm{e}^{-\int \frac{1}{\varphi(x, y)} \mathrm{d} \varphi(x, y)}=\left(x y\left[P(x y)-Q(x y)\right]\right)^{-1}
\]
定理1.5 在方程 (1) 中作变换
\[(x, y) \rightarrow (t x, t y) \quad \forall t > 0
\]
若存在常数 \(\alpha\) , 使得
\[P (t x, t y) = t ^ {\alpha} P (x, y) \quad Q (t x, t y) = t ^ {\alpha} Q (x, y)
\]
则称方程 (1) 为齐次方程, 它有如下积分因子
\[\mu (x, y) = \frac {1}{x P (x , y) + y Q (x , y)}
\]
证明:见[晏林 寸得偶. “积分因子求法探讨 ”. In: 文山学院学报 29.3 (2016), p. 6.]
值得注意的是, 这种情况下虽然能很快求出积分因子, 但有时候全微分不易求出, 这时建议使用常规做法, 即 令 \(y = u x\) .
例 1.10 \(\left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) \mathrm { d } x + 2 x y \mathrm { ~ d } y = 0\)
解:这是一个齐次方程,有积分因子
\[\frac{1}{x\left(x^{2}-y^{2}\right)+2 x y^{2}}=\frac{1}{x\left(x^{2}+y^{2}\right)}
\]
\[\frac{\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{x\left(x^{2}+y^{2}\right)}=0
\]
无需验证,我们知道这是-个恰当方程,其左端可以凑成一个全微分.具体地
\[\begin{align*}
\frac{\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{x\left(x^{2}+y^{2}\right)} &=\frac{\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x+x \mathrm{~d} y^{2}}{x\left(x^{2}+y^{2}\right)}=\frac{-\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x+x \mathrm{~d}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\
&=-\mathrm{d} \ln |x|+\mathrm{d} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)
\end{align*}
\]
从而得到方程的通解 \(-\ln|x|+\ln(x^2+y^2)=C\),补上遗漏的特解 \(x\equiv 0\) 后写成
\[x=C(x^2+y^2)
\]
设 \(\mu ( x , y )\) 是方程 (1) 的一个积分因子, 使得
\[\mu (x, y) (P (x, y) \mathrm {d} x + Q (x, y) \mathrm {d} y) = \mathrm {d} U (x, y)
\]
则对于任何连续可微的一元函数 \(\varphi ( t )\) , 函数 \(\mu ( x , y ) \varphi ( U ( x , y ) )\) 也是方程 (1) 的一个积分因子.
例 1.11 \(y ^ { 4 } \mathrm { d } x + ( 2 x ^ { 2 } - 3 x y ^ { 3 } ) \mathrm { d } y = 0\)
解:将方程分组
\[(y^4{\rm d}x-3xy^3{\rm d}y)+2x^2{\rm d}y=0
\]
显然前一组有积分因子 \(\displaystyle \frac{1}{xy^4}\),且
\[\frac{1}{x y^{4}}\left(y^{4} \mathrm{~d} x-3 x y^{3} \mathrm{~d} y\right)=\mathrm{d} \ln \left|\frac{x}{y^{3}}\right|
\]
因而对任何非零的连续可微函数 \(\varphi_1\),\(\displaystyle \frac{1}{xy^4}\varphi_1\left(\frac{x}{y^3}\right)\) 也是第一组的积分因子.显然后一组有积分因子 \(\displaystyle \frac{1}{x^2}\),且
\[\frac{2x^2{\rm d}y}{x^2}=2{\rm d}y
\]
因而对任何非零的连续可微函数 \(\varphi_2\),\(\displaystyle \frac{1}{x^2}\varphi_2\left(y\right)\) 也是第二组的积分因子.选取 \(\varphi_1,\varphi_2\) 使得
\[\frac{1}{x^2}\varphi_2\left(y\right)=\frac{1}{xy^4}\varphi_1\left(\frac{x}{y^3}\right)
\]
自然地,尝试用 \(\displaystyle \varphi_1(t)=t^a,\varphi_2(t)=t^b\),代入即得
\[a=b=-1
\]
于是两组的一个公共积分因子为 \(\displaystyle \frac{1}{x^2y}\).
\[\begin{align*}
\frac{y^{3} \mathrm{~d} x-3 x y^{2} \mathrm{~d} y}{x^{2}}+\frac{2 \mathrm{~d} y}{y}&=0\\
-\frac{y^{3}}{x}+2 \ln |y|&=C\\
y^{2}&=C^{y^{3} / x}
\end{align*}
\]
补充特解 \(x=0,y=0\).
给出一些常见全微分:
\[x\mathrm{~d}x+y\mathrm{~d}y=\mathrm{~d}\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)
\]
\[y\mathrm{~d}x+x\mathrm{~d}y=\mathrm{~d}(xy)
\]
\[\mathrm{e}^{x}(\mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x)=\mathrm{d}\left(y \mathrm{e}^{x}\right)
\]
\[\frac{x\mathrm{~d}y-y\mathrm{~d}x}{xy}=\mathrm{~d}\left(\ln\frac{y}{x}\right)
\]
\[\frac{x\mathrm{~d}y-y\mathrm{~d}x}{x^2+y^2}=\mathrm{~d}\left(\arctan \frac{y}{x}\right)
\]
\[\mathrm{e}^{-x}(\mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x)=\mathrm{d}\left(y \mathrm{e}^{-x}\right)
\]
\[\frac{x\mathrm{~d}x+y\mathrm{~d}y}{x^2+y^2}=\mathrm{~d}\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)
\]
\[\frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}}=\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right)
\]
\[\frac{y{\rm d}x-x{\rm d}y}{x^2-y^2}=\frac{1}{2}{\rm d}\left(\ln\left|\frac{x-y}{x+y}\right|\right)
\]
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