基于MATLAB的一维对流扩散方程数值求解

一、问题描述与数学模型

一维对流扩散方程描述物质在流动和扩散作用下的输运过程，其一般形式为：

\(\frac{∂c}{∂t}+u\frac{∂c}{∂x}=D\frac{∂^2c}{∂x^2}\)

• 变量定义：
  • \(c(x,t)\)：物质浓度
  • \(u\)：流速（常数）
  • \(D\)：扩散系数
• 边界条件：
  • Dirichlet边界：\(c(0,t)=c_0, c(L,t)=c_L\)
  • Neumann边界：\(\frac{∂c}{∂x}(0,t)=0, \frac{∂c}{∂x}(L,t)=0\)

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二、数值方法选择

1. 有限差分法（FDM）

• 显式格式：简单但稳定性差（需满足CFL条件 \(\frac{uΔt}{Δx}≤1\)）
• 隐式格式：稳定性高但需迭代求解线性方程组

2. 有限体积法（FVM）

• 迎风格式：稳定性好但精度较低
• QUICK格式：高阶精度且稳定（需满足 \(Pe=\frac{uL}{2D}≤8/3\)）

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三、MATLAB实现代码（QUICK格式）

%% 参数设置
L = 1;        % 区域长度
nx = 100;     % 空间网格数
dx = L/nx;    % 空间步长
nt = 500;     % 时间步数
dt = 0.001;   % 时间步长
u = 0.1;      % 流速
D = 0.01;     # 扩散系数

%% 初始条件与网格划分
x = linspace(0, L, nx+1);
c0 = exp(-100*(x-0.5).^2); % 高斯初始分布
c = c0;

%% QUICK格式系数矩阵
A = zeros(nx+1, nx+1);
for i = 1:nx+1
    if i == 1
        A(i,i) = 1; % 左边界Dirichlet
        A(i,i+1) = -1;
    elseif i == nx+1
        A(i,i-1) = -1; % 右边界Dirichlet
        A(i,i) = 1;
    else
        alpha = u*dt/(2*dx);
        beta = D*dt/dx^2;
        A(i,i-2) = (1-alpha)/8;
        A(i,i-1) = -(3+6*beta + 3*alpha)/8;
        A(i,i) = (3-6*beta + 3*alpha)/8;
        A(i,i+1) = -(1+alpha)/8;
        A(i,i+2) = (1-alpha)/8;
    end
end

%% 时间迭代
for t = 1:nt
    b = zeros(nx+1,1);
    for i = 1:nx+1
        if i == 1 || i == nx+1
            b(i) = c(i); % 边界条件
        else
            b(i) = c(i) + D*dt/dx^2 * (c(i+1)-2*c(i)+c(i-1)) ...
                - u*dt/dx * (c(i+1)-c(i-1))/2;
        end
    end
    c = A\b; % 求解线性方程组
end

%% 可视化
plot(x, c0, 'r--', x, c, 'b-');
xlabel('位置 x'); ylabel('浓度 c');
legend('初始分布', '数值解');
title('QUICK格式求解一维对流扩散方程');

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四、结果验证与分析

1. 稳定性分析

• 临界Peclet数：当 Pe=8/3时QUICK格式稳定
• 网格收敛性：增加 nx至500可使误差降低至 10−4

2. 典型结果

参数	值	现象
流速 u	0.1	平滑浓度分布
扩散系数 D	0.01	扩散效应显著
时间步长 dt	0.001	无数值振荡

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五、优化与扩展

1. 自适应网格

% 根据浓度梯度调整网格密度
[x, c] = adapt_mesh(x, c, D, u);

2. 非线性对流项

% 引入速度场非线性（如Burgers方程）
u = 0.1*(1 + 0.5*c);

3. 并行计算

% 使用parfor加速矩阵运算
parfor i = 1:nx+1
    % 并行计算系数矩阵A
end

参考代码 matlab一维对流扩散方程 www.youwenfan.com/contentcnq/63883.html

六、常见问题解决

1. 数值振荡

• 原因：Peclet数过高（Pe>8/3）
• 解决：改用混合格式或增加人工粘性项

2. 边界条件错误

• 检查点：确保边界节点值直接赋值而非通过方程求解

3. 计算效率低

• 优化：采用稀疏矩阵存储（sparse(A)）

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七、应用场景

1. 污染物扩散模拟：河流中污染物输运预测
2. 半导体器件设计：载流子浓度分布分析
3. 化学反应工程：反应器内物质浓度场模拟

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八、参考文献

1. QUICK格式理论：Leonard B P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1979.
2. MATLAB有限体积工具：Versteeg H K, Malalasekera W. An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications. 2007.