二次比二次型求最值

偶遇 2022 年新高考 I 卷解三角形，边化角强行展开强如怪物，拼尽全力勉强战胜。

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【问题】求下列函数的最值，其中 \(x \in \mathbb{R}\)，\(a,b,c,d,e,f \in \mathbb{R}\)。

首先，当 \(x<0\) 时，做换元 \(t=-x>0\)，则此时

\[f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}=\frac{at^2-bt+c}{dt^2-et+f} \]

仍符合原来的函数形式，故我们只考虑 \(x>0\) 的情况。

又因为分子中的二次项可通过分离常数消去：

\[\begin{aligned} f(x) &= \frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f} \\ &= \frac{\frac{a}{d}(dx^2+ex+f) + \left(b-\frac{ae}{d}\right)x + \left(c-\frac{af}{d}\right)}{dx^2+ex+f} \\ &= \frac{a}{d} + \frac{\left(b-\frac{ae}{d}\right)x + \left(c-\frac{af}{d}\right)}{dx^2+ex+f} \end{aligned} \]