基于Zernike多项式的波前像差到点扩散函数及调制传递函数的模拟

基于Zernike多项式的波前像差到点扩散函数（PSF）及调制传递函数（MTF）的模拟

一、引言

波前像差是光学系统成像质量下降的主要原因之一，其描述了实际波前与理想球面波的偏离。Zernike多项式作为描述波前像差的标准正交基，可将复杂波前分解为低阶（如离焦、像散）、高阶（如球差、彗差）像差的线性组合。通过点扩散函数（PSF）和调制传递函数（MTF）的模拟，可定量分析像差对成像的影响：PSF反映点光源的扩散程度（空间域），MTF反映系统对不同空间频率的对比度传递能力（频率域）。

二、波前像差的Zernike多项式表示

Zernike多项式是定义在单位圆盘（\(ρ≤1，ρ=\sqrt{x2+y2}\)）上的正交多项式，形式为：

\(Z_n^m(ρ,θ)=R_n^m(ρ)e^{imθ}\)

其中，\(n\)为径向阶数（\(n≥0\)），m为角向频率（\(∣m∣≤n\)，且\(n−∣m∣\)为偶数）；\(R_n^m(ρ)\)为径向多项式，\(e^{imθ}\)为角向三角函数。

物理意义：不同(\(n,m\))组合对应特定像差类型，例如：

• \(Z_2^0\)（离焦）：波前沿光轴方向的二次相位误差；
• \(Z_3^{±1}\)（彗差）：波前的不对称畸变（类似彗星尾巴）；
• \(Z_4^0\)（球差）：波前的径向对称畸变（中心亮斑扩大）。

任意波前像差可表示为Zernike多项式的线性组合：

其中，\(a_{nm}\)为Zernike系数（单位：波长\(λ\)），反映对应像差的强度。

三、从波前像差到PSF的模拟

PSF是点光源经光学系统后的强度分布，其核心是波前相位对衍射的影响。模拟步骤如下：

1. 计算光瞳函数

光瞳函数P(x,y)描述光学系统的振幅和相位分布，形式为：

其中，\(A(x,y)\)为振幅透射函数（圆形孔径内为1，外为0）；\(W(x,y)\)为波前像差（由Zernike多项式给出）；\(λ\)为波长。

2. 傅里叶变换求PSF

根据傅里叶光学，PSF是光瞳函数的傅里叶变换的模平方（非相干成像）：

其中，\(F\)表示二维傅里叶变换，\((u,v)\)为像面空间坐标。

数值实现（以MATLAB为例）：

• 对光瞳函数进行快速傅里叶变换（FFT）；
• 将零频分量移至频谱中心（fftshift）；
• 计算模平方并归一化（使总能量为1）。

% 示例：计算球差（Z4^0）的PSF
lambda = 0.6328e-6; % 波长（He-Ne激光）
aperture_diameter = 0.0254; % 孔径（1英寸）
focal_length = 5 * aperture_diameter; % 焦距
RMS_SA = 1; % 球差RMS（波长）
N = 256; % 采样点数
psf_sampling = 0.5e-6; % 像面采样间隔（米）

% 生成归一化光瞳坐标
x_pupil = (-fix(N/2):fix((N-1)/2)) * (aperture_diameter/(2*N));
[X_pupil, Y_pupil] = meshgrid(x_pupil, x_pupil);
R_norm = sqrt(X_pupil.^2 + Y_pupil.^2) / (aperture_diameter/2); % 归一化半径

% 计算Z4^0（球差）的波前像差
Z40 = 6*R_norm.^4 - 6*R_norm.^2 + 1; % Z4^0的径向多项式（n=4, m=0）
W = RMS_SA * Z40; % 波前像差（单位：波长）
W(R_norm > 1) = 0; % 孔径外波前为0

% 计算光瞳函数（振幅为1，相位为波前）
E = exp(1i * 2 * pi * W); % 复振幅

% 傅里叶变换求PSF
psf = abs(fftshift(fft2(ifftshift(E)))).^2; % PSF（模平方）
psf = psf / sum(psf(:)); % 归一化

3. 结果分析

• 理想情况：无像差时（W=0），PSF为艾里斑（中心亮斑+同心圆环）；
• 有像差时：像差会扩大PSF的主瓣、增强旁瓣（如球差导致中心亮斑模糊，彗差导致不对称拖尾）。

四、从PSF到MTF的转换

MTF是PSF的傅里叶变换的模，反映系统对不同空间频率的对比度传递能力。其定义为：

其中，\(f_x,f_y\)为空间频率（单位：线对/毫米，lp/mm）。

数值实现（以MATLAB为例）：

• 对归一化的PSF进行二维FFT；
• 计算模并归一化（使零频MTF为1）。

% 示例：计算球差PSF的MTF
mtf = abs(fftshift(fft2(ifftshift(psf)))); % MTF（模）
mtf = mtf / mtf(1,1); % 归一化（零频为1）

2. 工程简化：斜边法（Slanted Edge Method）

实际中，直接测量PSF（点光源）因能量弱、对齐难，常用斜边法间接计算MTF：

1. 获取边缘扩散函数（ESF）：拍摄黑白斜边图像，提取亮度过渡曲线；
2. 求导得线扩散函数（LSF）：对ESF求导（微分），得到线光源的强度分布；
3. FFT得MTF：对LSF进行一维FFT，取模即为MTF。

参考代码 计算点扩散函数 www.youwenfan.com/contentcnq/52385.html

五、工程实践要点

在光学设计软件（如Zemax、CodeV）中，模拟PSF/MTF需注意以下问题：

1. 旋转视场的处理

当视场偏离X/Y轴（如对角线视场），PSF会发生旋转，导致MTF的子午/弧矢面计算误差。解决方法：

• 旋转系统：通过坐标断点（Coordinate Break）旋转整个系统，使视场回到Y轴；
• 避免旋转光阑：光阑平面旋转会导致光线瞄准错误，需将光阑固定在非旋转表面。

2. 计算方法的精度

• FFT方法：速度快，适用于旋转对称系统，但对非对称像差（如彗差）精度略低；
• 惠更斯法（Huygens Integral）：通过子波叠加直接计算PSF，精度高（黄金标准），但速度慢，适用于大像差或复杂系统。

3. 采样与分辨率

• 光瞳采样：需满足奈奎斯特准则（采样点数≥2×孔径直径/波长），避免 aliasing；
• 像面采样：PSF的采样间隔需小于艾里斑半径（~1.22λf/#），以保证分辨率。

六、案例：Zernike像差组合的MTF分析

以人眼光学系统为例，分析Zernike像差组合对MTF的影响：

• 像差组合：离焦（Z20）+ 球差（Z40）；
• 结果：当离焦系数为0.1λ、球差系数为0.05λ时，MTF在10 lp/mm处的对比度从0.8下降到0.5；
• 结论：球差对高频MTF的影响更显著，离焦主要影响中低频。

七、结论

基于Zernike多项式的波前像差模拟，通过光瞳函数→PSF→MTF的流程，可定量分析像差对成像质量的影响。工程实践中，需注意旋转视场的处理、计算方法的精度及采样分辨率的选择。未来，结合深度学习（如神经网络预测Zernike系数），可进一步提高模拟效率和精度，为光学设计（如镜头优化、自适应 optics）提供有力支撑。

参考文献（示例）：

sunfove. (2026). MTF 的计算原理与 PSF/ESF 转换. CSDN博客.

方利华, 等. (2007). 泽尼克像差组合对人眼光学质量的影响. 光电工程.

佚名. (2025). Zemax中如何获得最真实的MTF？. 知乎专栏.

weixin_42589700. (2025). MATLAB中的Zernike多项式与相位屏模拟实战. CSDN博客.

EyRe1. (2023). 如何根据光学中像差(相位)求出其点扩散函数. CSDN博客.