数学建模

《关于肉类解冻时间的数学模型》

1. 课题组成员及分工：

• 王子轩
• 曹益凡
• 陈钰婷
• 蒋婷婷
• 张婉宁

2. 课题的意义

为日常生活中合理规划肉类解冻时间提供科学参考

3. 研究计划

解冻时间受多种因素影响，主要包括：

• 肉的属性：大小、形状、密度、比热容、热导率、相变潜热等。

• 初始状态：初始温度（冰箱冷冻温度，通常为 \(-18°C\) 左右）。

• 环境条件：环境温度（室温）、解冻介质（空气、水等）的对流传热特性。

• 解冻目标：通常需要使肉内部完全融化并达到 \(0°C\) 以上以便切割。

4. 研究过程

• 模型假设

  为简化问题，作出以下合理假设：

1. 肉块为规则几何体（如长方体、球体），各向同性，材质均匀。

2. 环境温度恒定（室温 \(T_a\)，单位 \(°C\) ）。

3. 解冻过程中，肉块表面温度始终等于环境温度（对于空气解冻，该假设较强，但可近似）；或采用集总热容法，认为肉块内部温度均匀。

4. 忽略辐射传热，仅考虑对流传热。

5. 解冻完成指肉块整体温度达到 \(0°C\) 且冰完全融化为水。

（一） 基于集总热容法的简化模型

假设肉块内部温度均匀，则根据能量守恒，单位时间内吸收的热量等于对流传热速率。解冻过程分为两个阶段：

· 阶段一：肉块从初始温度 \(T_i(<0°C)\)加热至熔点 \(T_m = 0°C\)，无相变。

· 阶段二：在 \(0°C\) 时冰融化为水，吸收潜热，温度保持不变。

设肉块质量为 \(m\)，体积为 \(V\)，表面积为 \(A\)，密度为（\(m = \rho V\)）。冰的比热容为 \(c\)（约 \(2100 J/(kg·°C)\)），相变潜热为 \(L\)（约 $334 kJ/kg $）。表面对流传热系数为 \(h\)（单位：\(W/(m^2·°C)\)），取决于解冻方式（空气自然对流约 \(5\sim 10\, W/(m^2·°C)\)）。

阶段一所需时间 \(t_1\)：

由热平衡方程：

\[\rho V c \dfrac{dT}{dt} = h A (T_a - T) \]

初始条件 \(T(0) = T_i\)，解微分方程得：

\[T(t) = T_a - (T_a - T_i) e^{-\frac{h A}{\rho V c} t } \]

令 \(T(t_1) = 0\)，解得：

\[t_1 = \frac{\rho V c}{h A} \ln \frac{T_a - T_i}{T_a} \]

阶段二所需时间 \(t_2\)：

融化过程温度恒为 \(0°C\)，热流恒定：

\[h A (T_a - 0) t_2 = \rho V L \]

所以：

\[t_2 = \frac{\rho V L}{h A T_a} \]

总解冻时间 \(t\)：

\[t = t_1 + t_2 = \frac{\rho V c}{h A} \ln \frac{T_a - T_i}{T_a} + \frac{\rho V L}{h A T_a} \]

（二）模型简化与讨论

• 形状因素：公式中出现 \(\dfrac{V}{A}\)，即体积与表面积之比。对于规则形状：

• 球体（半径 \(R\)）：\(\dfrac{V}{A} = \dfrac{R}{3}\)。

• 长方体（边长 \(a,b,c\)）：若所有面暴露，\(\dfrac{V}{A} = \dfrac{abc}{2ab + 2bc + 2ac}\)。

• 平板（厚度 \(d\)，其他面很大）：若两面暴露，\(\dfrac{V}{A} \approx \dfrac{d}{2}\)

• 时间与尺寸的关系：若肉块几何相似（形状相同，尺寸按比例缩放），则 \(\dfrac{V}{A} \propto \text{特征长度}\)，故 \(t \propto \text{特征长度}\)。但实际中，热传导内部有阻力，更精确的解冻时间与特征长度的平方成正比（如平板解冻时间 \(t \propto d^2\)）。集总热容法要求内部热阻远小于外部热阻，对于肉块，热导率 \(k\) 较小，该条件不一定满足，故本模型适用于较小或较薄的肉块。

• 环境温度影响：\(t_1\) 中含对数项，\(t_2\) 与 \(T_a\) 成反比。当 \(T_a\) 远大于 \(|T_i|\) 时，对数项变化不大；\(t_2\)占主导，总时间近似与 \(T_a\) 成反比。

（三）实用简化公式

对于常见情况，可进一步简化。设肉块为平板状，厚度为d（单位：米），忽略初始温度影响（因 \(T_a - T_i \approx T_a\)），并合并常数，得经验公式：

\[t \approx K \cdot d^2 \quad \text{或} \quad t \approx C \cdot m^{2/3} \]

其中 \(K, C\) 为与肉种类、环境温度有关的常数。例如，在 \(20°C\) 空气中解冻牛肉，实验测得1厘米厚肉片约需1小时，则 \(K \approx 10000h/m^2\)（即 \(1 cm^2\) 需 \(0.01\) 小时）。对于质量 \(m\)，因 \(d \propto m^{1/3}\)，故 \(t \propto m^{2/3}\)。

5. 研究结果

本文基于热传递基本原理，运用集总热容法建立了肉类解冻时间的数学模型，得到包含对数函数和反比例函数的表达式，并给出简化经验公式。模型表明解冻时间与肉块尺寸、环境温度密切相关，可为日常生活中合理规划解冻时间提供科学参考。

6. 收获与体会

数学建模教会我们将抽象理论与现实问题紧密相连。通过这一过程，我们深刻体会到：它不仅是数学工具的应用，更是逻辑思维、多角度分析与团队协作的综合锻炼。我们学会了如何合理简化复杂情境、用数据支撑决策，并在一次次尝试中接纳不完美但可优化的解。最大的收获，是从被动解题者转变为主动探索者，看到了数学鲜活而强大的生命力。

7. 对此研究的评价

这个主题看似简单，背后却涉及传热学、流体力学、相变理论等多学科知识。

肉类解冻数学模型的建立与发展，是食品工程科学化进程的缩影。它既解决了生产实践中的具体问题，又提出了深刻的科学问题，推动着传热学、数值计算和食品科学的共同进步。尽管完美模型尚遥不可及，但每一步进展都使我们更接近对这一日常过程的科学掌控，最终在食品安全、资源节约与美食享受之间找到更优平衡。这一领域的研究提醒我们，即使是最寻常的生活现象，也可能蕴藏着不寻常的科学深度。