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摘要： \[a\sin x+b\cos x=c \begin{equation*} \begin{cases} \sin x=\dfrac{ac\pm b\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a^2+b^2}\\\\ \cos x=\dfrac{bc\pm a\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a^2 阅读全文

摘要： 引理：等腰梯形的四个顶点共圆。 易证。 牛顿定理三：四边形 \(A_1 A_2 A_3 A_4\) 与其内切圆的四个切点分别为 \(B_1,B_2,B_3,B_4\)，证明：\(A_1 A_3,A_2 A_4,B_1 B_3,B_2 B_4\) 四线共点。 证明：在直线 \(A_1 A_2\) 上取 阅读全文

摘要： 一般的尺规作图要求「圆规不能固定」，即圆规的唯一作用是：以任一点为圆心，以任意距离为半径作圆。而初中数学中的「作一条线段等于已知线段」的作法中涉及圆规的「截取与平移」，这是不允许的。 本文介绍在一般的尺规作图中「截取已知线段」的三种方法。 问题：已知平面上一线段 \(AB\) 和一点 \(C\)，求 阅读全文

摘要： 引理一：对于任意 \(n\ (n\ge 1)\) 个 \((0,1)\) 间的实数 \(a_1,...,a_n\)，下式始终成立： \[\sum_{i=1}^{n}a_i+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{n}(a_i+1)}<n+\dfrac{1}{2} \]证明：当 \(n=1\) 阅读全文

摘要： 题目传送门 如何求 \(x\ (x>1)\) 在模 \(p\) 意义下的逆元： 做带余除法：设 \(p=kx+r\ (r<x)\)，其中 \(k=\lfloor\dfrac{p}{x}\rfloor,\ r=p\bmod x\)，显然有 \(k<p\) 则 \(kx+r=p\equiv 0 \pmo 阅读全文

摘要： 题目传送门 使用 multiset multiset 可以看成一个序列，支持插入一个数或删除一个数，时间复杂度均为 \(O(\log n)\)，且能始终保证序列中的数是有序的，而且序列中可以存在重复的数（而 set 容器要求两两不同，且不保证有序）。 一个基本事实：速度最大的时刻必然出现在两个相邻点 阅读全文

摘要： 题目传送门 先给结论：记 \(S=1+2+\dots+k\)，则当 \(N\ge S\) 时为 YES，当 \(N<S\) 时为 NO。 严谨一点，证明如下： 若能成功分配饼干，记 \(k\) 名小朋友拿到的饼干数量分别为 \(a_1,a_2,\dots,a_k\)。由于饼干数量各不相同且均为整数， 阅读全文

摘要： 转至文末 字符串双模哈希 P11276 第一首歌 Base Mod \(137\) \(10^9+7\) \(139\) \(10^9+9\) struct Hash { ll base, mod, p[N], hs[N]; Hash(ll b, ll n, ll m) { base = b, mo 阅读全文

摘要： 将以下代码保存为文件 xxx.reg，运行。 Windows Registry Editor Version 5.00 [HKEY_CLASSES_ROOT\*\shell\vim] @="Edit with Vim" "icon"="\"D:\\Vim\\gvim.exe\"" [HKEY_CLA 阅读全文

摘要： 由均值不等式 \[ab \le \dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right) \]令 \(a=\sqrt{k}x,b=\dfrac{1}{\sqrt{k}}y,k>0\)，代入得： \[xy \le \frac{1}{2} \left(k x^2 + \frac{1}{k} y^ 阅读全文