AcWing 4：多重背包问题 I ← 规模小时可转化为0-1背包问题

​【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/4/

【题目描述】
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

【输入格式】
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi，wi，si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

【输出格式】
输出一个整数，表示最大价值。

【数据范围】
0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100

【算法分析】
● 背包问题，求解的是“将某些种物品装入背包，......”，而不是求解“将某些个物品装入背包，......”的问题。切记。
多重背包问题，每种物品有有限多个；完全背包问题，每种物品有无限多个；0-1背包问题，每种物品只有一个。

● 多重背包问题：有 n 种物品和一个容量为 V 的背包。第 i 种物品有固定体积 vol[i]、固定价值 val[i]，并且最多可以选取 k[i] 件。在总体积不超过背包容量的前提下，选择若干件物品，使得总价值最大。

● 经典解法：在数据规模不大（≤100）的前提下，可将多重背包中的第 i 种物品按照其最大可选取数量，拆分为若干个相互独立、属性完全一致的单件物品。这样一来，原来的多重背包问题，就变成了每个物品只能选或不选的 0/1 背包问题，可以直接用 0/1 背包的方法求解。示意图如下所示：

切记，“暴力拆分”的方法只适用于问题规模不大（n≤100）的多重背包问题。若问题规模较大，必然会TLE。因此，对于问题规模较大的多重背包问题，就需要进行二进制优化。
实例详见：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/109363826

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=105;
int f[maxn];

int val,vol,cnt;
int main() {
    int n,v;
    cin>>n>>v;
    for(int k=1; k<=n; k++) {
        cin>>vol>>val>>cnt;
        for(int i=1; i<=cnt; i++)
            for(int j=v; j>=vol; j--)
                f[j]=max(f[j],f[j-vol]+val);
    }
    cout<<f[v];

    return 0;
}

/*
in:
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

out:
10
*/

【参考文献】
https://www.acwing.com/problem/content/4/
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/109363826
https://www.acwing.com/problem/content/solution/4/1/

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