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摘要： Day 04. 元素阶 —— 从代数结构到计算复杂度 1. 命题：有限群元素的阶 命题： 有限群的元素必有有限阶。 设 \(G\) 是有限群， \(a \in G\)，则 \(\text{ord}(a)\) 有限，且 \(\text{ord}(a) \le |G|\)。 证明： 考虑序列 \(a^1 阅读全文

摘要： 第二档习题选讲：群论基础与进阶 1. 共轭子群的证明 题目： 设 \(G\) 为群，\(H \le G\)。证明：\(\forall g \in G\)，\(gHg^{-1} = \{ghg^{-1} : h \in H\}\) 也是 \(G\) 的子群。 原有笔记： 子群一步判定即证。 讲师补充： 阅读全文

摘要： 1. 线性同余方程 (Linear Congruence Equation) 命题： 方程 \(ax \equiv b \pmod n\) 有解当且仅当 \((a, n) \mid b\)。 若有解，设 \(d = (a, n)\)，则解为 \(x \equiv x_0 + k\frac{n}{d} 阅读全文

摘要： Day 3 学习笔记：子群 (Subgroups) 子群的定义 设 \((G, \cdot)\) 是一个群，\(H\) 是 \(G\) 的一个子集（\(H \subseteq G\)）。若 \(H\) 在 \(G\) 的运算下也构成群，则称 \((H, \cdot)\) 是 \((G, \cdot) 阅读全文

摘要： 第三档习题选讲 1. 设 \((G, \cdot)\) 是群. 证明: \(axa = b\) 有唯一的解. 解: 显然有 \(x = a^{-1} b a^{-1}\) 2. \((G, \cdot)\) 是有限群, \(|G| = n\). 证明: \(\forall a \in G, a^n 阅读全文

摘要： 阶与指数方程 (Order and Exponential Equations) 前提条件： 设 \(m\) 为正整数，且模 \(m\) 的乘法群 \(\mathbb{Z}_m^\times\) 是循环群（即 \(m\) 存在原根）。 命题： 设 \(\gcd(a, m) = 1\)，记 \(d = 阅读全文

摘要： 群论基础与幂次整除分析 一、 消去律的等价形式 定理：设 \((G, \cdot)\) 是一个有限幺半群，则以下命题等价： (i) 消去律成立：左消去律 \(ax=ay \Rightarrow x=y\) 与右消去律 \(xa=ya \Rightarrow x=y\) 均成立。 (ii) 方程解的唯 阅读全文

摘要： 第三档习题选讲 习题六、元素阶的性质（中难） 设 \(G\) 为有限群，\(a, b \in G\)。 (a) 证： 若 \(ab = ba\)，则 \(|ab| \mid \text{lcm}(|a|, |b|)\) (b) 证： 若 \(ab = ba\) 且 \((|a|, |b|) = 1\ 阅读全文

摘要： 扩展欧几里得算法（Extended GCD） 目标：解方程 \[ax + ny = 1 \quad \text{其中 } \gcd(a, n) = 1 \]即：求整数 \(x, y\)，使得 \(ax + ny = 1\)。 这在模运算中等价于求 \(a^{-1} \mod n\)。 算法描述：ex 阅读全文

摘要： 证明1：群的不完全定义的完备性 给定集合 \(G\) 上的二元运算满足以下条件： 封闭性：\(\forall a, b \in G,\quad ab \in G\) 结合律：\(\forall a, b, c \in G,\quad (ab)c = a(bc)\) 左单位元存在：\(\exists 阅读全文