群论入门

一课一度的抄课件环节。

群

定义

群是一种代数系统，定义一个群 \((G,\oplus )\)，满足以下条件：

• $\oplus $ 是一个 满足结合律的二元运算。

• \(G\) 是一个集合，存在单位元 \(e\)。

• \(a\in G\implies a^{-1}\in G,a\oplus a^{-1}=e\)。

• 群 \((G,\oplus )\) 运算封闭。

  也即：

  1. \(a\in G,b\in G\implies a\oplus b\in G\)
  2. \(a\in G\implies a^{-1}\in G\)
  3. \(a\oplus e=e\oplus a=a\)

运算 $\oplus $ 不需要满足交换律。

特别地，若运算 $\oplus $ 满足交换律，则称为 交换群。

阶

• 当群中只有有限多个元素时，群的阶是元素个数，也就是 \(|G|\)。
• 元素 \(x\) 的阶定义为最小的正整数 \(k\) 满足 \(x^k=e\)，\(x^k\) 指的是连续 \(k\) 个 \(x\) 做运算 $\oplus $。
• 对于无限群而言，元素的阶不一定存在，例如加法运算定义的整数群，其单位元为 \(0\)。

子群

定义

定义群 \((H,\oplus)\) 是群 \((G,\oplus)\) 的子群，当且仅当满足以下条件：

1. \(H\subseteq G\)。
2. \((H,\oplus)\) 是一个合法的群，并且 \(e\in H\)。

性质

设 \((H,\oplus ),(K,\oplus )\) 都是群 \((G,\oplus )\) 的子群。

1. \((H\cap K,\oplus )\) 是 \((G,\oplus )\) 的子群。

2. \((H\cup K,\oplus )\) 是 \((G,\oplus )\) 的子群当且仅当该运算发生退化。

   也即 \(K\subseteq H\) 或者 \(H\subseteq K\)。

判定

设 \(H\subseteq G,H\neq \varnothing\)，则 \((H,\oplus)\) 是 \((G,\oplus )\) 的子群，当且仅当：

• \(\forall a\in H,b\in H,a\oplus b\in H,a^{-1}\in H\)。

推论：

1. 该条件可以等价转述为：\(\forall a,b\in H,a\oplus b^{-1}\in H\)。

   1. \(a\oplus a^{-1}=e\in H\)
   2. \(e\oplus a^{-1}=a^{-1}\in H\)
   3. \(a\oplus (b^{-1})^{-1}=a\oplus b\in H\)

2. 若 \(H\) 是 \(G\) 的非空有穷子集，则可以等价描述为 \(a,b\in H\implies a\oplus b\in H\)，可以略去求逆。

一些特殊的子群

设群 \((G,\oplus )\)。

• 定义群 \((S(a),\oplus )\)，其中 \(S(a)=\lbrace a^i|i\in \mathbb{Z}\rbrace,a\in G\)。

  则 \((S(a),\oplus )\) 为 \((G,\oplus )\) 的子群，称其为 \(a\) 的生成子群，\(a\) 为生成元。

  值得指出的是，这是一个循环群，其定义在后面。

• 定义群 \((N(a),\oplus )\)，其中 \(N(a)=\lbrace x|x\in G,a\oplus x=x\oplus a\rbrace\)。

  显然也是 \((G,\oplus )\) 的子群，称 \(N(a)\) 是 \(G\) 关于 \(a\) 的正规化子。

• 设 \((H,\oplus )\) 为 \((G,\oplus )\) 的子群，对于 \(x\in G\)，定义子群 \((xHx^{-1},\oplus)\)，其中 \(xHx^{-1}=\lbrace x\oplus h\oplus x^{-1}|h\in H\rbrace\) 。

  称 \((xHx^{-1},\oplus)\) 为 群 \((H,\oplus )\) 与 \(x\) 的共轭子群。

一些特殊的群

循环群

• \(G=S(a)=\lbrace a^i|i\in \mathbb{Z}\rbrace\)，在运算 $\oplus $ 意义下，则称 \((G,\oplus )\) 为循环群，\(a\) 为生成元

• \(n\) 阶循环群与在模 \(n\) 意义下的加法剩余系同构

置换群

定义函数 \(f\)，其定义域和值域均为 \(G\)，且函数 \(f\) 为一个双射函数，则称函数 \(f\) 为 \(G\) 上的一个置换。

• 特别地，若 $G $ 是一个非空有穷集，将元素分别标号为 \(1\sim |G|\)，则可以将置换 \(f\) 看做一个排列。

  也即一个置换可以用一个大小为 \(|G|\) 的排列表示。

定义置换的合成（\(\oplus\) 运算）。

设 \(f\) 是一个置换，\(g\) 是一个置换，定义置换 \(f\oplus g\) 为：

• \((f\oplus g)(x)=f(g(x)),x\in G\)

定义置换群：

• 设 \(S_n\) 为所有的 \(n\) 元排列的集合，设 $\oplus $ 为置换的复合运算，称群 \((S_n,\oplus )\) 为\(n\) 元对称群。
• 对于 \((S_n,\oplus )\) 的子群，我们称为 \(n\) 元置换群。

群的陪集分解

设 \((G,\oplus )\) 为一个群，设子群 \((H,\oplus)\)，\(a\in G\)，定义 \(H[a]=\lbrace h\oplus a|h\in H\rbrace\)，则称 \(H[a]\) 是子群 \(H\) 在 \(G\) 中关于 \(a\) 的右陪集。（类似可以定义左陪集 \([a]H\)。

注意 \(H[a]\) 只是一个集合。

性质：

• \(H[e]=H\)。

• \(\forall a\in G\)，\(H[a]\) 与 \(H\) 等势。

  等势：称集合 \(S,T\) 等势，当且仅当可以构造两集合间的双射。

  • 一个有穷一个无穷显然不等势。
  • 对于两个有穷集，当且仅当两集合大小相同。
  • 对于两个无穷集，能够找到双射即等势，例如正偶数集和正整数集。

• 若 \(H\) 为有限集，则 \(H[a]\) 与 \(H\) 同阶。

• \(\forall a,b\in G,a\in H[b]\iff H[a]=H[b]\iff a\oplus b^{-1}\in H\)

  证明：

  \(a\in H[b]\implies \exists h,h\oplus b=a\implies h=a\oplus b^{-1}\in H\)

  \(H[a]=\lbrace x\oplus a|x\in H\rbrace=\lbrace (x\oplus h)\oplus b|x\in H\rbrace=\lbrace x\oplus b|x\in H\rbrace\)。

  证毕。

• 根据上一条，可以将 \(H[a],a\in G\) 划分等价类，每一类的大小都恰为 \(|H|\)，恰有 \(\frac{|G|}{|H|}\) 个等价类。

  此为拉格朗日定理：设 \((G,\oplus )\) 是有限群，\((H,\oplus)\) 是其子群，则 \(G\) 的阶一定是 \(H\) 的阶的倍数，具体倍数为等价类个数。

群的共轭类分解

设群 \((G,\oplus )\)，定义共轭关系：

\(a\in G,x\in G,b=x\oplus a\oplus x^{-1}\)，称呼 \(b\) 是 \(a\) 关于 \(x\) 的共轭。

显然 \(b\in G\)。

共轭关系也是等价关系，可以进行共轭类分解。

性质：

1. \(a\) 所处共轭类 \(T(a)\) 满足 \(|T(a)|=\frac{|G|}{|N(a)|}\)。

   任取 \(x,y\in G\)，设 \(x\oplus a\oplus x^{-1}=y\oplus a\oplus y^{-1}\)。

   \[\begin{aligned} &x^{-1}\oplus x\oplus a\oplus x^{-1}\oplus y=x^{-1}\oplus y\oplus a\oplus y^{-1}\oplus y\\\iff &a\oplus x^{-1}\oplus y=x^{-1}\oplus y \oplus a\\ \iff &x^{-1}\oplus y\in N(a)\\ \iff &N(a)[x]=N(a)[y] \end{aligned} \]

   最后那个是陪集分解。

   这说明 \(x,y\) 在 \(G\) 关于 \(N(a)\) 的陪集分解中处于同一等价类当且仅当它们表达同一个共轭关系。

   这就说明了 \(|T(a)|\times |N(a)|=|G|\)。

轨道-稳定子群定理

定义 \(A\) 为状态集合（此处的状态指一个 \(n\) 元向量）设 \(a\in A\)。

设 \((G,\oplus )\) 为一个 \(n\) 元有穷置换群。

此处一个状态 \(a\) 与一个 \(g\in G\) 做置换 \((g\oplus a)(x)=g(a(x))\)。

定义：

• \(G^a=\lbrace g|g\in G,g\oplus a=a\rbrace\) 称其为 \(a\) 的稳定子群。
• \(G(a)=\lbrace g\oplus a|g\in G\rbrace\) 称其为 \(a\) 的轨道。
• \(A^g=\lbrace a|a\in A,g\oplus a=a\rbrace\)

轨道-稳定子群定理： \(|G|=|G^a||G(a)|\)。

设 \(x,y\in G\)，有：

\[x\oplus a=y\oplus a\iff a=x^{-1}\oplus (y\oplus a)\iff x^{-1}\oplus y\in G^a\iff G^a[x]=G^a[y] \]

这就说明 \(|G(a)|\) 是 \(G\) 关于 \(G^a\) 的陪集分解中的等价类数量。

Burnside 引理

设 \(|A/G|\) 为本质不同的状态数量（可以通过若干置换转化的排列本质相同）。

设集合 \(A/G\) 为每个本质不同的状态选择一个代表组成的集合，显然 \(G(a)\) 中的状态全部本质相同。

\[\begin{aligned} &|G^a|=\frac{|G|}{|G(a)|}\\ \iff &\sum_{a\in A}|G^a|=|G|\sum_{a\in A}\frac{1}{|G(a)|}\\ \iff &\sum_{a\in A}|G^a|=|G|\sum_{a\in A/G}\sum_{b\in G(a)}\frac{1}{|G(a)|}\\ \iff &\sum_{a\in A}|G^a|=|G|\sum_{a\in A/G}1\\ \iff &\sum_{g\in G}|A^g|=|G|\times |A/G|\\ \iff &|A/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|A^g| \end{aligned} \]

bouns: burnside 定理存在带权扩展。

有时候我们并不满足于只计算一个个数，我们希望可以对一个局面 \(a\)，定义权值函数 \(w(a)\)，对所有本质不同的状态的权值函数求和。

我们声称，只要 \(a,b\) 本质相同，则 \(w(a)=w(b)\)，即可将公式改写为：

\[w(A/G)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\sum_{a\in A^g}w(a) \]

读者自证不难。

Polya 定理

Polya 定理描述了有 \(m\) 种颜色的染色问题，也即 \(A\) 为所有长度为 \(n\) 值为 \([1,m]\) 的数组的集合。

有 \(|A^g|=m^{\#(g)}\)，其中 \(\#(g)\) 为置换 \(g\) 的置换环个数。

考虑带权形式：运用burnside，想要求解所有染色情况下的权值函数之和。

通过一定的组合意义，可以发现相当于每个置换环独立的所有染色方案的权值和的乘积。