从三角函数到单位圆

在直角三角形中，锐角三角形不论大小，只要角度一致，那么它的两边比值就是固定的，不同的两边比值用sin、cos、tan来作代称（sin\cos\tan就类似编程里给起的一个变量名）。通过这个固有属性，我们就可以逆向求出相关未知数。

经过研究发现，不单在直角三角形，在任意三角形，不管大小如何，只要角度相同，指定的两条边比例相同。

当把直角三角形搬进在单位圆（斜边为1）里，我们就可以更清晰地看清更多的三角形两边关系，cot、ssec、csc...。

为什么用单位圆，当斜边=1时（圆的半径），比值就等于对应的边长，可以很方便人通过视觉来观察各个三角函数的周期规律变化。比如sin 就是y高度，cos 就是x宽度，...。

至此，一个几何周期性规律可以通过代数形式去描述，而这个代数形式就是下文要介绍的标准化参数模型。

标准化参数的应用

定义:
参数标准化是一种数据预处理技术，将不同量纲或取值范围的数据进行转换，使其具有统一的标准，用于将数据值转换为具有相同统计特性的值。

目标:
消除不同特征之间的量纲差异，使所有特征都在相似的范围内，以便于比较和分析。

完美的分析工具：

所以三角函数结合着坐标系，天然就很适合做数字孪生、仿真工具。
下面用几个实际案例来分析：

以一个简单的周期性信号（例如交流电压信号）为例，介绍使用sin函数进行工程分析的简单流程。

假设我们有一个工程问题：分析一个交流电压信号的幅度、频率和相位，以确定其是否符合标准（例如，家用交流电220V，50Hz）。

步骤1：数据采集
使用传感器（例如电压互感器）和数据采集卡（ADC）对信号进行采样，得到离散的时间序列数据。

步骤2：信号可视化（可选）
将采集到的数据绘制成波形图，直观观察信号的周期性。

步骤3：建立模型
我们假设信号是正弦波，模型为：V(t) = A * sin(2πf t + φ) + Noise
其中，A是幅度，f是频率，φ是初相位，Noise是噪声。

步骤4：参数估计
使用三角函数性质或算法（如傅里叶变换）来估计A, f, φ。

例如，通过傅里叶变换可以得到信号的频率成分，从而找到主频f。
然后，通过拟合算法（如最小二乘）可以估计A和φ。

步骤5：验证与分析
将估计的参数代入模型，生成理论波形，与实际波形对比，验证模型的准确性。
然后，根据工程标准判断参数是否在允许范围内。

步骤6：应用
根据分析结果，可能用于故障诊断、质量控制等。

元器件的电流波形取决于两个主要因素：

输入电源的波形：
如果你的测试信号源（例如信号发生器）输入的是一个标准的正弦波电压，那么在线性元器件（如纯电阻、理想电感、理想电容）中流过的电流自然也是正弦波。
元器件本身的性质：
线性元件指：电阻器、电感器、电容器是线性元件。
在线性电路中，流经它们的电流波形将忠实地反映电源电压的波形，可能存在振幅和相位的变化，但波形形状（正弦波）保持不变。

当然，即使是一个非重复的信号，它仍然可以看作无数个不同频率、不同强度的正弦波的独特组合！
为理解复杂世界提供了统一的频率视角。

图像的本质：亮度/颜色的二维分布

不同频率的正弦波图案可以方便做分类：

比如人脸的特定方向的正弦波：

实际应用：

一个通信流程展示：

发送端（你的手机）：

传输通道：
电磁波在空间中传播，
传输的不是原始声音波形，而是它的"频率配方"

接收端（对方手机）：

收发两端内都内置了一个参数标准化模型。

一些复杂的事物，通过参数标准化的思维模式处理，会更好的抓住复杂事物的特征。
关键思想：

复杂世界 → 分解成 → 简单正弦波 → 分析处理 → 重新组合 → 改造世界

参数标准化思想是一个很好用（主流）的分析、改造、优化工具。

posted on 2025-11-27 14:16 Mysticbinary 阅读(12) 评论(0) 收藏举报

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