学习集合笔记

目录

• 集合定义
• 集合三特性
• 集合的表示法—如何描述元素
• 元素与集合的关系
• 集合间的关系
  • 集合间的符号：
  • 空集 ∅ 、 {}
  • 子集 （Subset）
  • 等集
  • 全集（Universal Set） U
  • 幂集（Power Set） P(A)
• 集合间的运算
  • 集合的运算律
  • 案例背景
  • 并集（∪）
  • 交集（∩）
  • 怎么记忆交集和并集?
  • 差集（A - B)
  • 补集 ( C )

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集合定义

集合（Set）是一种用来装东西的容器，它所装的东西叫元素（Element）。

集合里的元素，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合。

规定（书写约定）：

• 元素通常用 a, b, c, d, x等小写字母来表示；

• 而集合通常用A, B, C, D, X等大写字母来表示。 一些大写字母已经约定俗成地表示为某类数，比如下面是一些前人已约定好的集合，看到Q就知道是表示有理数：

  • N——自然数
  • Q——有理数
  • R——实数
  • I——虚数
  • C——复数
  • .......

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集合三特性

无序性：
一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。
集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。

互异性：
一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
有时需要对同一元素出现多次的情形，可以使用多重集，多重集会记录元素出现的次数。

确定性：
给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

Tip: 任何编程语言里的集合结构实现，都遵循上述的集合三特性。

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集合的表示法—如何描述元素

集合的表示无非是想给这个容器定义好边界、大小，让人能一眼看出它里面能装多少个多大、多小的数字。
常见的表示方式：

• 列举法
  直接罗列全部出来，比如：{1,2,3}

• 韦恩图法
  就是通过用画圈来表示集合，下面有展示。

• 描述法
  可以用文字描述，比如： A = 大于零的前三个自然数
  也可以用数学符号描述，比如： A = {x|x>0 且 x<4}

  常见的描述符号（需熟记于心）：
  

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元素与集合的关系

元素与集合的关系只有两种，不存在其他情况：

• 属于 ∈
• 不属于 ∉

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集合间的关系

集合间的符号：

• 相等 = 、不相等 ≠
• 包含 ⊆ 、不包含 ⊄
• 真包含 ⫋

空集 ∅ 、 {}

就是说这个集合里面什么都不包含。

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子集 （Subset）

符号类似 A ≤ B

包含关系指的是一种子集关系。具体来说，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，并且集合B中存在至少一个元素不属于集合A，那么我们就可以说集合A包含于集合B，或者集合B包含A。
记作：A ⊆ B ，
读作: A 包含于 B（或 B包含A）。

注意：这个包含于 和 包含 有很大区别！

这里还衍生出 真子集、超集／母集 概念。

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等集

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全集（Universal Set） U

Tip: 全集的符号是大写英语字母 U ，他很容易和并集的符号 ∪ 混淆。要小心！

• 全集是指在特定上下文中涵盖了所有讨论范围内元素的集合。

• 全集通常用符号U表示。在不同的领域和问题中，会改变符号代称。

简而言之：全集是什么元素都有的集。不是真的什么都有, 只是理论上假设它都有，为了方便描述而已。

注意，全集不是超集，它是一种抽象的描述一个更大范围的方式。

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幂集（Power Set） P(A)

幂集是指一个集合所有子集的集合。换句话说，给定一个集合A，幂集P(A)是由A的所有可能子集所构成的集合。

例如，对于集合A = {1, 2}，它的幂集P(A)包含以下子集：
P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
其中，∅表示空集，{1}表示只包含元素1的子集，{2}表示只包含元素2的子集，{1, 2}表示包含元素1和元素2的子集。

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集合间的运算

集合的运算律

• 交换律、结合律、分配律
• 德摩根定律

案例背景

S 代表踢足球的人的集
T 代表打网球的人的集
V 代表打排球的人的集

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并集（∪）

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交集（∩）

怎么记忆交集和并集?

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差集（A - B)

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补集 ( C )

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