杨辉三角原理及PHP代码实现

杨辉三角，又称帕斯卡三角，是我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次记录的一种三角形数表，在欧洲则称为帕斯卡三角（Blaise Pascal，1653年研究）。它是一个无限对称的数字金字塔

效果图：

研究规则设定：

杨辉三角构造规则
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，其构造规则非常简单：

• 顶端数字：第 0 行只有一个数字 1。
• 边界数字：从第1行开始，每一行的最左边和最右边的数字都是 1。
• 中间数字：除了边界外，中间的每一个数字都等于它正上方和左上方两个数字之和。

用数学公式表示：
规则设定：行 n 从 0 开始计数，列 k 也从 0 开始计数。

如果设 C(n,k) 为第 n 行第 k 列的数字(行和列都从 0 开始计数，且 n ≥)，则：
C(n,k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
另外，每行首尾的数为：C(n,0) =1且 C(n,n)=1。

通过分析，我得出的的几个关键特点：
n代表第n行（n从0开始计数），k代表第k列（k从0开始计数）。
第 0 行：有1个数，1。
第 1 行：有2个数，1、1。
第 2 行：有3个数，1、2、1。
第 n 行：有n+1个数，第n+1个数的索引值是n，第n个数的索引值是n-1。

n 必须满足的条件是：n ≥ 2。因为只当行数n ≥ 2时，才存在中间元素。
k 必须满足的条件是：k ≥ 1 && k ≤ n-1，也就是说，让k定位到每一行不是首尾的数。

代码逻辑解析：

• 初始化：我们创建一个空数组 $triangle 来存储整个三角形。
• 外层循环：遍历每一行（从 0 到 $numRows - 1）。
• 行初始化：对于第 $i 行，我们创建一个长度为 $i + 1 的数组，并全部填充为 1。这一步巧妙地利用了杨辉三角“两端为 1”的特性，省去了单独判断首尾的代码。
• 内层循环：从第 2 行（索引为 2）开始，遍历该行中间的元素（索引从 1 到 $i - 1）。
• 状态转移：利用公式 $row[$j] = $triangle[$i - 1][$j - 1] + $triangle[$i - 1][$j] 计算当前值。这里 $triangle[$i - 1] 代表上一行。
• 存储：将构建好的行添加到 $triangle 数组中。

用 PHP 实现的杨辉三角算法

<?php
declare (strict_types = 1);

/**
 * 生成杨辉三角
 * 采用“先填充默认值 1，再计算中间值”的策略。
 * @param int $numRows 需要生成的行数。
 * @return array 返回一个二维数组。
 */

function generateYangHuiTriangle(int $numRows): array {
  // 防御性编程：处理非正数输入
  if ($numRows <= 0) {
    return [];
  }

  $triangle = [];

  for ($i = 0; $i < $numRows; $i++) {
    // 首先把每一行的值全部初始化为 1。
    $row = array_fill(0, $i + 1, 1);

    // 计算中间值。只有当 i ≥ 2 时，才存在中间元素（索引 j ≥ 1 && j ≤ i-1）。
    for ($j = 1; $j < $i; $j++) {
      $row[$j] = $triangle[$i - 1][$j - 1] + $triangle[$i - 1][$j];
    }

    $triangle[] = $row;
  }

  return $triangle;
}

// print_r(generateYangHuiTriangle(5));

$rows = 5;

// 格式化输出杨辉三角
echo "<h3>杨辉三角（{$rows}行）</h3>";

$triangle = generateYangHuiTriangle($rows);
foreach ($triangle as $line) {
  echo str_repeat("&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;", $rows - count($line));
  echo implode("&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;", $line) . "<br>";
}

以上算法在浏览器中的输出结果：