USACO历年黄金组真题解析 | 2003年11月

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1.经典算法练习：根据信息学竞赛大纲，精心挑选经典算法题目，提供清晰的代码实现与详细指导，帮助您夯实算法基础。
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附上汇总贴：USACO历年黄金组真题解析 | 汇总

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P2341 受欢迎的牛

【题目来源】

洛谷：[P2341 USACO03FALL / HAOI2006] 受欢迎的牛 G - 洛谷

【题目描述】

每头奶牛都梦想成为牛棚里的明星。被所有奶牛喜欢的奶牛就是一头明星奶牛。所有奶牛都是自恋狂，每头奶牛总是喜欢自己的。奶牛之间的“喜欢”是可以传递的——如果 \(A\) 喜欢 \(B\)，\(B\) 喜欢 \(C\)，那么 \(A\) 也喜欢 \(C\)。牛栏里共有 \(N\) 头奶牛，给定一些奶牛之间的爱慕关系，请你算出有多少头奶牛可以当明星。

【输入】

第一行：两个用空格分开的整数：\(N\) 和 \(M\)。

接下来 \(M\) 行：每行两个用空格分开的整数：\(A\) 和 \(B\)，表示 \(A\) 喜欢 \(B\)。

【输出】

一行单独一个整数，表示明星奶牛的数量。

【输入样例】

3 3
1 2
2 1
2 3

【输出样例】

1

【算法标签】

《洛谷 P2341 受欢迎的牛》 #图论# #强连通分量# #Tarjan# #栈# #USACO# #各省省选# #2003# #2006# #河南#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 10005;        // 最大节点数

int n, m, a, b;            // n:节点数, m:边数, a,b:临时边变量
vector<int> e[N];          // 邻接表存储图

int dfn[N];                // DFS序（时间戳）
int low[N];                // 通过回边能到达的最小DFN值
int tot;                   // 时间戳计数器

int stk[N];                // Tarjan算法栈
int instk[N];              // 标记节点是否在栈中
int top;                   // 栈顶指针

int scc[N];                // 存储每个节点所属的强连通分量编号
int siz[N];                // 存储每个强连通分量的大小（节点数）
int cnt;                   // 强连通分量计数器

int dout[N];               // 每个强连通分量的出度

/**
 * Tarjan算法求强连通分量
 * @param x 当前节点
 */
void tarjan(int x)
{
    // 初始化当前节点的DFN和LOW值
    dfn[x] = low[x] = ++tot;
    
    // 将当前节点压入栈并标记
    stk[++top] = x;
    instk[x] = 1;
    
    // 遍历当前节点的所有邻接节点
    for (int y : e[x])
    {
        // 如果邻接节点y未被访问
        if (!dfn[y])
        {
            tarjan(y);                      // 递归访问y
            low[x] = min(low[x], low[y]);   // 更新low值
        }
        // 如果y已被访问且在栈中（回边）
        else if (instk[y])
        {
            low[x] = min(low[x], dfn[y]);   // 通过回边更新low值
        }
    }
    
    // 如果当前节点是强连通分量的根
    if (dfn[x] == low[x])
    {
        int y;
        ++cnt;  // 增加强连通分量计数
        
        // 弹出栈中节点直到遇到当前节点
        do
        {
            y = stk[top--];     // 弹出栈顶节点
            instk[y] = 0;       // 标记节点已出栈
            scc[y] = cnt;       // 记录节点所属的强连通分量
            ++siz[cnt];         // 增加当前强连通分量的大小
        }
        while (y != x);         // 直到弹出当前节点
    }
}

int main()
{
    // 输入节点数和边数
    cin >> n >> m;
    
    // 输入所有边
    while (m--)
    {
        cin >> a >> b;
        e[a].push_back(b);  // 添加有向边a->b
    }
    
    // 对每个未访问的节点执行Tarjan算法
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (!dfn[i])
        {
            tarjan(i);
        }
    }
    
    // 构建强连通分量之间的有向无环图（DAG）
    for (int x = 1; x <= n; x++)
    {
        for (int y : e[x])
        {
            // 如果x和y不在同一个强连通分量中
            if (scc[x] != scc[y])
            {
                ++dout[scc[x]];  // 源分量的出度增加
            }
        }
    }
    
    // 统计出度为0的强连通分量
    int sum = 0;    // 存储最终结果
    int zeros = 0;   // 出度为0的强连通分量数量
    
    for (int i = 1; i <= cnt; i++)
    {
        // 如果当前强连通分量出度为0
        if (dout[i] == 0)
        {
            sum = siz[i];  // 记录该分量的大小
            ++zeros;       // 增加出度为0的分量计数
        }
    }
    
    // 如果有多个出度为0的强连通分量，则结果为0
    if (zeros > 1)
    {
        sum = 0;
    }
    
    // 输出结果
    cout << sum << endl;
    
    return 0;
}

【运行结果】

3 3
1 2
2 1
2 3
1