初学范畴论的一些体会

休学时间正好在家把范畴论学一下，感觉这东西对模型论视角下的可计算性的理解有大帮助

教材：Basic Category Theory - Tom Leinster, Cambridge studies in advanced mathematics

upd on 20260212 终于学完了，感觉这个东西一点用都没有

范畴论的思想是：当看待一个数学结构的时候（譬如全体群构成的真类以及它们之间的同态），我们不关心这个数学结构的对象是怎么构造的，而是关心这个数学结构的对象之间是如何交互的。这个思想和现代物理学的内核其实很像，对于一个十分小的粒子，既然我们还无法知道它内部的结构是怎么样的（甚至可能永远都无法知道，比如说这个粒子需要用光速的物体来轰击它它才会裂开），那么我们干脆用其他的已知的粒子来和它互动一下，看看他们是怎么交互的，会产生什么样的结果，从而来刻画这一个粒子的特性。当然通俗的，我们可以用一个常见的习语来描述这种思想：

如果一杯东西它闻起来像豆浆、看起来像豆浆、喝起来像豆浆...在一切探测手段下它都和豆浆一样，那么它就是豆浆。

基本的元素

为了应用这一思想，范畴论定义了一系列东西，它们是

• 范畴
  ├── 对象
  └── 态射与态射间的连接
• 范畴间的函子
• 函子间的自然变换

当然这些定义是有层次的，那我们是否可以继续拓延这些层次，定义出类似于自然变换的自然变换、NT的NT的NT等等这些概念呢？完全可以，按需自取即可。

之后，用范畴论语言来描述一个对象的性质的行为，我们称其为泛性质（实际上是，我们可以用态射来一一描述这个对象，而不依赖对象内部的结构，这也算是给出了一个对象在范畴论意义下的定义吧）。泛性质是范畴论的核心，为讨论和描述泛性质，我们有三种主要的结构：伴随、表示、极限。