SciTech-Mathematics-Analysis+Probability: Bernoulli Experiment及其有关分布:Bernoulli + Binomial + Geometric

SciTech-Mathematics-Analysis+Probability: Bernoulli Experiment及其有关分布:

Bernoulli Experiment及其有关分布

Bernoulli Experiment(伯努利试验)

• Bernoulli Experiment
  一次Experiment(试验)的Outcomes(结果)只有两种可能(样本空间有且只有两个元素)。
  常常设: 事件A=试验成功; 对每次试验, 事件A发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p。
• 在 Bernoulli Experiment(伯努利试验) 之上的 独立、重复的多次试验 的概率模型:
  进行 独立、重复的多次Bernoulli Experiment，
  并对 总次数、成功次数、首次成功的序号等设置条件，
  就可以建立一些经常用到的"概率分布模型"。

Bernoulli distribution(伯努利分布)，

又名两点分布或0-1分布, 注意: 只有一次Bernoulli Experiment(伯努利试验) 。
Bernoulli distribution(伯努利分布)是 n = 1 的 特殊 Binomial Distribution。

Binomial Distribution(n次独立重复Bernoulli试验的)

Binomial Distribution(二项分布)，随机变量 X ~ B(n, p)

• 进行独立重复的Bernoulli试验，
  设事件A=结果成功; 对每次试验，事件A发生的概率为p，不发生的概率q=1-p，
• 试验条件是进行总共n次试验即停止；
• 用随机变量X指代事件A发生的次数，注意X是"事件A发生的次数"。
  则X可能取值为0，1，…，n,
  且对每一个k(0≤k≤n), 事件 X=k 即“总共n次试验，事件A恰好发生k次成功”，

随机变量X的离散概率分布即为Bernoulli Distribution, 期望E(X)=np, 方差D(X)=np(1-p)。

Geometric distribution(几何分布)， 记为X ~ Geo(p)

• 进行独立重复的Bernoulli试验，
  设事件A=结果成功; 对每次试验，事件A发生的概率为p，不发生的概率q=1-p，
• 试验条件是试验到取得事件A首次发生为止,
• 用随机变量X指代事件A首次发生时所进行的总试验次数, 注意X是"总试验次数"。 
  则X可能取值为0，1，…，n, …,
  且对每一个k(常数), 事件 X=k 即“事件A首次发生时所进行的总试验次数”，
• 其分布列为：
  
  即: "直到第k次试验，事件A才首次发生(前k-1次不发生，第k次发生)的概率"。

性质:

• Geometric distribution是唯一的离散无记忆随机分布。 它是 指数分布的离散模拟。
• Geometric distribution是 帕斯卡分布 当 r=1 时的特例。

实际上有不少随机变量服从几何分布，
例如，某产品的不合格率为0.05，则首次查到不合格品的检查次数X ～ Geo(0.05) 。

Pascal distribution(负二项分布, 帕斯卡分布)

• 进行独立重复的Bernoulli试验，
  设事件A=结果成功; 对每次试验，事件A发生的概率为p，不发生的概率q=1-p，
• 试验条件是**将试验进行到事件A正好发生r(r为常数)次为止*,
• 用随机变量X指代事件A正好发生r(r为常数)次的总试验次数, 注意X是"总试验次数"。 
  则X可能取值为0，1，…，n, …,
  且对每一个k(常数), 事件 X=k 即“事件A恰好发生k次的总试验次数”，
• 其分布列为
  
  此时称P(X=k)服从帕斯卡分布。
  当r=1时，即几何分布帕斯卡(Pas-cal , B.)。

Poisson distribution 与 Binomial Distribution的关系

Poisson distribution(泊松分布) 记为: X ~ π(λ)，或记为X ~ Poisson(λ)。

在Binomial Distribution(二项分布) 的Bernoulli Experiment，
如果试验次数n很大，概率p很小，且乘积 λ=np 比较适度，则事件出现的次数的概率可用Poisson distribution逼近。
在这种条件下的Binomial Distribution，用Poisson distribution去近似，则计算快捷。