【算法题解】MX-S5-T1：王国边缘与倍增跳跃——深入理解内向基环树处理

【算法题解】MX-S5-T1：王国边缘与倍增跳跃——深入理解内向基环树处理

题目概述与难点分析

题目链接：洛谷 P11267

问题描述

在一个神奇的“王国边缘”中，有 n 个节点，每个节点 i 都有一个唯一的下一个节点 to[i] 和跳跃距离 len[i]。从起点 s 出发，进行 k 次跳跃（k 可能非常大），要求计算这 k 次跳跃经过的总距离。

数据范围：

• n ≤ 2 × 10^5
• k ≤ 10^15

核心挑战

如果采用简单的模拟方法，时间复杂度为 O(k)，在 k 达到 10^15 时完全不可行。即使使用倍增法（二进制拆分），也需要 O(n log k) 的预处理和 O(log k) 的查询，对于大规模数据仍然不够高效。

算法核心：内向基环树模型

模型转换

这个问题的结构可以建模为内向基环树森林：

• 每个节点有且仅有一条出边（指向 to[i]）
• 最终必然形成若干个基环树，每个基环树由一个环和若干指向该环的树链组成

关键观察

1. 从任意节点出发，经过有限步后必然进入某个环
2. 进入环后，跳跃路径呈现周期性
3. 环的大小通常远小于 k

O(n) 解法详解

预处理阶段

// 基础数据结构定义
const int MAXN = 200010;
int n, to[MAXN], len[MAXN];
long long k;

// 预处理信息
int dist_to_cycle[MAXN];    // 节点到环的距离（步数）
int cycle_id[MAXN];         // 节点所属环的编号
int cycle_pos[MAXN];        // 节点在环上的位置（如果在环上）
int cycle_size[MAXN];       // 每个环的大小
long long cycle_sum[MAXN];  // 每个环的总长度
vector<long long> cycle_prefix[MAXN];  // 每个环的前缀和

步骤1：检测环

使用快慢指针（Floyd判圈法）或拓扑排序方法找出所有的环：

void find_cycles() {
    vector<int> indeg(n + 1, 0);
    vector<bool> in_cycle(n + 1, true);
    queue<int> q;
    
    // 计算入度
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        indeg[to[i]]++;
    }
    
    // 拓扑排序：移除所有不在环上的节点
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (indeg[i] == 0) q.push(i);
    }
    
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop();
        in_cycle[u] = false;
        
        int v = to[u];
        indeg[v]--;
        if (indeg[v] == 0) q.push(v);
    }
    
    // 标记环信息
    int cycle_cnt = 0;
    vector<bool> visited(n + 1, false);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (in_cycle[i] && !visited[i]) {
            cycle_cnt++;
            int u = i;
            int pos = 0;
            
            // 遍历整个环
            do {
                visited[u] = true;
                cycle_id[u] = cycle_cnt;
                cycle_pos[u] = pos++;
                u = to[u];
            } while (u != i);
            
            cycle_size[cycle_cnt] = pos;
        }
    }
}

步骤2：计算节点到环的距离

void compute_dist_to_cycle() {
    vector<bool> visited(n + 1, false);
    
    // 从每个环上的节点开始反向BFS
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (cycle_id[i] != 0) {
            dist_to_cycle[i] = 0;
            // 这里需要反向图来计算树链上的节点到环的距离
        }
    }
    
    // 建立反向边
    vector<vector<int>> rev_graph(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        rev_graph[to[i]].push_back(i);
    }
    
    // BFS计算距离
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (cycle_id[i] != 0) {
            q.push(i);
            visited[i] = true;
        }
    }
    
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop();
        
        for (int v : rev_graph[u]) {
            if (!visited[v]) {
                visited[v] = true;
                dist_to_cycle[v] = dist_to_cycle[u] + 1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
}

步骤3：计算环的总长度和前缀和

void compute_cycle_info() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int cid = cycle_id[i];
        if (cid != 0 && cycle_prefix[cid].empty()) {
            // 计算这个环的总长度
            long long sum = 0;
            int u = i;
            
            do {
                sum += len[u];
                cycle_prefix[cid].push_back(sum);
                u = to[u];
            } while (u != i);
            
            cycle_sum[cid] = sum;
        }
    }
}

查询阶段：高效计算总路径长度

有了预处理信息后，对于查询 (s, k)，我们可以将路径分为三段：

情况1：k步内未进入环

树链部分（尚未进入环）

这种情况需要特殊处理，可以通过离线查询+差分解决。

情况2：进入环后

路径分为三部分：

1. 从起点到环的入口：d1 步
2. 在环上完整循环的圈数：full_cycles = (k - d1) / cycle_size
3. 在环上剩余的不完整部分：remainder = (k - d1) % cycle_size

long long query(int s, long long k) {
    long long total_len = 0;
    
    // 如果k步内还无法进入环
    if (k <= dist_to_cycle[s]) {
        // 需要特殊处理，可以使用倍增或直接模拟（因为这部分步数不会太大）
        return simulate(s, k);
    }
    
    // 第一部分：走到环上
    long long part1 = walk_to_cycle(s, dist_to_cycle[s]);
    k -= dist_to_cycle[s];
    total_len += part1;
    
    // 现在当前位置在环上
    int cid = cycle_id[s];
    int pos = cycle_pos[s];  // 需要根据实际到达的节点计算
    
    // 第二部分：完整圈数
    long long full_cycles = k / cycle_size[cid];
    total_len += full_cycles * cycle_sum[cid];
    
    // 第三部分：剩余部分
    long long remainder = k % cycle_size[cid];
    total_len += walk_in_cycle(cid, pos, remainder);
    
    return total_len;
}

关键优化：离线处理树链部分

对于在 k 步内未进入环的情况，我们可以通过离线查询来优化：

struct Query {
    int id;
    int node;
    long long steps;
    long long answer;
};

void process_queries_offline(vector<Query>& queries) {
    // 按节点深度排序
    sort(queries.begin(), queries.end(), [](const Query& a, const Query& b) {
        return depth[a.node] < depth[b.node];
    });
    
    // 使用差分数组高效计算路径和
    vector<long long> diff(n + 2, 0);
    
    for (auto& q : queries) {
        // 从q.node向上走q.steps步
        int ancestor = find_kth_ancestor(q.node, q.steps);
        
        // 使用前缀和差分计算路径长度
        diff[q.node] += len[q.node];
        if (ancestor != 0) {
            diff[ancestor] -= len[q.node];
        }
    }
    
    // 后序遍历计算答案
    dfs_for_answers(1, diff);
}

算法复杂度分析

时间复杂度

• 预处理阶段：O(n)
  • 拓扑排序：O(n)
  • 环检测与信息计算：O(n)
  • 计算距离：O(n)
• 查询阶段：O(1) 对于每个查询（在线部分）

空间复杂度

• 存储图：O(n)
• 预处理信息：O(n)
• 环信息：O(n)

实战技巧与注意事项

1. 边界条件处理

• k 可能为 0
• 起点本身可能在环上
• 环的大小为 1 的特殊情况

2. 溢出处理

// 使用long long避免溢出
if (k > LLONG_MAX - dist_to_cycle[s]) {
    // 处理溢出情况
}

3. 调试技巧

// 验证环信息的正确性
void validate_cycles() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (cycle_id[i] != 0) {
            int u = i;
            for (int j = 0; j < cycle_size[cycle_id[i]]; j++) {
                assert(cycle_id[u] == cycle_id[i]);
                u = to[u];
            }
            assert(u == i);  // 应该回到起点
        }
    }
}

与其他解法的对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	适用场景
直接模拟	O(k)	O(1)	k 非常小
倍增法	O(n log k) 预处理，O(log k) 查询	O(n log k)	通用，但不够最优
本文方法	O(n) 预处理，O(1) 查询	O(n)	k 极大，查询次数多

总结与拓展

这道题的精髓在于将看似复杂的跳跃问题转化为内向基环树模型，并通过巧妙的预处理将路径分为树链和环两部分分别处理。这种思想在很多图论问题中都有应用：

1. 类似问题扩展：

   • 多次查询不同起点和步数
   • 动态修改边的权重
   • 求跳跃过程中经过的节点集合

2. 算法思想迁移：

   • 处理有向图中的路径问题
   • 带有周期性的动态规划
   • 快速计算幂次在循环群中的结果

3. 进一步优化：

   • 可以使用 Tarjan 算法更高效地找环
   • 对于树链部分，可以结合倍增法处理极端情况

通过这道题，我们不仅学会了一种高效算法，更重要的是掌握了将实际问题抽象为合适的数据模型，并利用模型特性设计针对性优化的思维方式。这种能力在解决复杂的算法问题时至关重要。

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最后更新：2025年12月
标签：算法、图论、基环树、前缀和、离线查询