三角底力小练

\((0).\) 给定 \(n\in \N^{*}\)，求解：\(ans_n=\prod\limits_{k=1}^{n-1} \sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right).\)

注意到：

\[\begin{aligned} |1 - e^{i\theta}| &= |1 - \cos\theta - i\sin\theta|\\ &= \sqrt{(1-\cos\theta)^2 + (-\sin\theta)^2}\\ &= \sqrt{1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta}\\ &= \sqrt{1 - 2\cos\theta + 1} = \sqrt{2(1-\cos\theta)} \end{aligned} \]

于是 \(|1-e^{2i\theta}|=2\left\vert\sin \theta \right\vert\)，故 \(\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{1}{2}|1-e^{\frac{2k\pi i}{n}}|=\dfrac{1}{2}|1-w_n^k|\)，其中 \(w_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}\) 表示 \(n\) 次单位根。

于是 \(ans_n=2^{1-n}\left\vert\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(w_n^k-1\right)\right\vert\)，后者是一个经典套路。

构造 \(f(z)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} z^k=\dfrac{z^n-1}{z-1}=\prod\limits_{k=1}^{n-1} (z-w_n^k)\)，于是带入 \(z=1\) 得到 \(\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(w_n^k-1\right)=(-1)^{n-1}n.\)

于是 \(ans_n=n\cdot 2^{1-n}.\)

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\((1).\) 求解 \(s=\sin 6^\circ\sin 42^\circ\sin 66^\circ\sin 78^\circ.\)

解：显然是 \((6,66),(42,78)\) 配对。

\(s=\dfrac{1}{4}(\cos 60^\circ -\cos 72^\circ)(\cos 36^\circ -\cos 120^\circ)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2}-\sin 18^{^\circ}\right)\left(\dfrac{1}{2}+1-2\sin^2 18^{^\circ}\right)\)

进斩杀了，\(\sin 18^\circ=\dfrac{\sqrt 5-1}{4}\Longrightarrow s=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3-\sqrt 5}{4}\times \dfrac{\sqrt 5+3}{4}=\dfrac{1}{16}.\)

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\((2).\) 求解 \(s=\cos 6^\circ\cos 42^\circ\cos 66^\circ\cos 78^\circ.\)​

解：显然是 \((6,66),(42,78)\) 配对。

\(s=\dfrac{1}{4}(\cos 60^\circ +\cos 72^\circ)(\cos 36^\circ +\cos 120^\circ)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2}+\sin 18^{^\circ}\right)\left(-\dfrac{1}{2}+1-2\sin^2 18^{^\circ}\right)\)

同理代入 \(\sin 18^\circ=\dfrac{\sqrt 5-1}{4}\Longrightarrow s=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{\sqrt 5+1}{4}\times \dfrac{\sqrt 5-1}{4}=\dfrac{1}{16}.\)​

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\((3).\) 求解 \(s=\cos 40^\circ (1+\sqrt 3\tan 10^\circ).\)

解：\(s=\dfrac{2\cos 40^\circ (\cos 30^\circ \sin 10^\circ +\sin 30^\circ \cos 10^\circ )}{\cos 10^\circ}=\dfrac{2\cos 40^\circ \sin 40^\circ}{\cos 10^\circ}=1.\)​

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\((4).\) 求解 \(s=\sec 50^\circ+\tan 10^\circ.\)

解：\(s=\dfrac{\sin 10^\circ\sin 40^\circ+\cos 10^\circ}{\sin 40^\circ\cos10^\circ}=\dfrac{\sin 10^\circ\sin 40^\circ+2\sin 40^\circ\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ\cos10^\circ}=\dfrac{\sin 10^\circ+2^\circ\sin 50^\circ}{\cos10^\circ}\)

和下面的 \((5)\) 类似，\(\sin 10^\circ+2\sin(60^\circ-10^\circ)=\sqrt3\cos 10^\circ\Longrightarrow s=\sqrt 3.\)

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\((5).\) 求解 \(s=2\cos 10^\circ\sec 20^\circ -\tan 20^\circ.\)

解：\(s=\dfrac{2\cos 10^\circ-\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}=\dfrac{\sqrt 3\cos 20^\circ+\sin 20^\circ-\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}=\sqrt 3.\)​

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\((6).\) 求解 \(s=\cos \frac{2\pi }{7}+\cos \frac{4\pi }{7}+\cos \frac{6\pi }{7}.\)

解：取 \(7\) 次单位根 \(w\)，则 \(s=\dfrac{1}{2}(w+w^{-1}+w^2+w^{-2}+w^3+w^{-3})=-\dfrac{1}{2}.\)

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\((7).\) 求解 \(s=8\sin^2\frac{\pi}{7}\sin^2\frac{2\pi}{7}\sin^2\frac{3\pi}{7}.\)

解：套用 \((0).\) 的结论 \(\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{1}{2}|1-w_n^k|\)，取 \(7\) 次单位根 \(w\)，则 \(s=\dfrac{1}{8}|(1-w)(1-w^2)(1-w^3)|^2.\)

注意到 \(|(1-w)(1-w^2)(1-w^3)|=|(w^{-1}-1)(w^{-2}-1)(w^{-3}-1)|=|(1-w^4)(1-w^5)(1-w^6)|.\)

于是 \(s=\dfrac{1}{8}|(1-w)(1-w^2)(1-w^3)(1-w^4)(1-w^5)(1-w^6)|=\dfrac{7}{8}\)，最后一步仍然套用了 \((0).\) 的结论。

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\((8).\) 求解 \(s=\sin^4 10^\circ+\sin^4 50^\circ+\sin^4 70^\circ.\)​

解：注意到 \(10^\circ+60^\circ\to 70^\circ,70^\circ+60^\circ\to 130^\circ\to 50^\circ.\)

于是 \(10^\circ,50^\circ,70^\circ\) 是 \(\sin 3\theta=\dfrac{1}{2}\) 的三个 \([0,2\pi)\) 内的根。

即 \(x_1=\sin 10^\circ,x_2=\sin 50^\circ,x_3=\sin 70^\circ\) 是 \(8x^3-6x+1=0\) 的三个实根。

于是 \(8x^4=x(6x+1)=6x^2+x.\)

于是只需求 \(\sum x_i^2,\sum x_i\) 即可。

根据韦达定理，\(\sum x_i=0,\sum x_i^2=(\sum x_i)^2-2\sum x_1x_2=\dfrac{3}{2}.\)

于是 \(s=\dfrac{6}{8}\times \dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{8}.\)

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\((9).\) 求解 \(s=\sin 1^\circ\sin 3^\circ\cdots \sin 89^\circ.\)​

解：构造 \(t=\sin 2^\circ\sin 4^\circ\cdots \sin 90^\circ.\)

\(t=2^{45}\cdot \sin 1^{^\circ}\cos 1^{^\circ}\sin 2^{^\circ}\cos 2^{^\circ}\cdots \sin 45^{^\circ}\cos 45^{^\circ}=2^{44}\times \sqrt 2\times \sin 1^\circ\sin 2^\circ\cdots \sin 89^\circ=2^{44}\sqrt 2 st.\)

于是解得 \(s=\frac{\sqrt 2}{2^{45}}.\)

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\((10).\) 求解 \(s=\cos^5 \frac{\pi}{9}+\cos^5 \frac{5\pi}{9}+\cos^5 \frac{7\pi}{9}.\)

解：类似 \((8).\) 有：\(20^\circ,100^\circ,140^\circ\) 分别是 \(\cos 3\theta=\dfrac{1}{2}\) 的三个根。

\(x_1=\cos \frac{\pi}{9},x_2=\cos \frac{5\pi}{9},x_3=\cos \frac{7\pi}{9}\) 分别是 \(8x^3-6x-1=0\) 的三个实根。

\(x^5=\dfrac{1}{8}x^2(6x+1)=\dfrac{3}{32}(6x+1)+\dfrac{1}{8}x^2.\)

同理 \(\sum x_i=0,\sum x_i^2=\dfrac{3}{2}\Longrightarrow s=\dfrac{9}{32}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{15}{32}.\)