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posted @ 2024-11-29 10:47
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Problem 已知函数 $ f(x)= \ln ( x+1) -x+\frac{x^2}{2} - kx^3 \hspace {0.2cm} (0<k< \frac{1}{3} ) $ . (1)证明: $ f(x) $ 在 $ (0,+\infin)$ 上有唯一极值点和零点. (2)设 $ x_ 阅读全文
posted @ 2025-11-16 23:32
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Problem 已知函数 $ g(x) =\sin x $ , 点列 $ A_n( 2^{-n} , g(2^{-n} ) ) \hspace {0.2cm} (n\in N^*) $ . 设直线 $ A_nA_{n+1} $ 斜率为 $ k_n$ ,求证: $ \sum_{i=1}^{n}k_i 阅读全文
posted @ 2025-11-15 00:32
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Problem 已知双曲线 $ x^2 -\frac{y^2}{3}=1 $ ,双曲线上一点 $ P(x_0,y_0) \hspace {0.1cm} (x_0>0) $ , 双曲线在点 $ P $ 处的切线 $ l:x_0x - \frac{y_0y}{3} =1 $ . 若 $ l' \bot 阅读全文
posted @ 2025-11-14 23:41
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Problem 已知函数 $ f(x) =x \ln x - a x^2 -x +a \hspace {0.1cm} (a\in R)$ . 若 \(f(x)\) 有两个极值点 \(x_1,x_2(x_1<x_2)\) ，证明：当 $ \lambda \geq 1$ 时， $ \ln x_1 + \ 阅读全文
posted @ 2025-11-11 23:41
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Problem 已知 $ f(x) =ae^{x-1}+\frac{1}{a}-3 \ln x - 3 ,a>0 $ . 证明： $ \forall \theta \in (0,\frac{\pi}{2}) , f(\sin \theta) + f(\cos \theta ) >-1$ . 分析 和 阅读全文
posted @ 2025-11-11 23:18
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Problem 已知双曲线 $ E: \frac{ x^2 }{ a^2 } - \frac{ y^2 }{ b^2 }=1 \hspace{0.1cm} (a>0 , b>0)$ 的左、右焦点分别为 $ F_1,F_2 $ ， 过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点 $ A $ ，若三角 阅读全文
posted @ 2025-10-31 23:57
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Problem 19.2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行。在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友。运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球、羽毛球、篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球、羽毛球、篮球）徽章。 阅读全文
posted @ 2025-10-30 23:55
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Problem 已知数列 $ { a_n } $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $，满足 $ S_{n+1} = 2a_n^ { \hspace{0.2cm} 2} - 1 + S_n (n\in N^{*})$ 。 (1)略。 (2)当 $ a_1 \in [ \frac{ \sqrt{2 阅读全文
posted @ 2025-10-29 23:58
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Problem 设有一个大小为 $ n $ 的集合，进行 $ n $ 次操作，每次从集合中随机选取一个元素并记录之，求所有操作结束后，所记录的元素中互不相同的元素的个数的期望 $ E(X) $。 分析 通常示性函数在应用与解决此类问题时比传统的求分布列的方法更加便捷，因为求分布列后再求解期望不可避免 阅读全文
posted @ 2025-10-28 23:26
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Problem 现有一个1到n的排列，$ a_1,a_2,...,a_n $。记 $ X $ 为满足 $ a_i = i $ 的 $ i $ 的个数，求 $ E(X) $ 。 准备工作 设随机变量 $ X,Y $ ， $ X \in \{ x_1,x_2,...,x_n \} $ ， $ Y \in 阅读全文
posted @ 2025-10-27 23:31
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