整理几个二项式定理的二级结论

整理几个二项式定理的二级结论

\(\Sigma_{k≥0}C_{n+k-1}^kx^k = (1-x)^{-n}\)

推导过程

由广义二项式定理得

\[(1-x)^{-n}=\Sigma_{k≥0}C_{-n}^k(-x)^k \]

展开\(\Sigma_{k≥0}C_{-n}^k(-x)^k\)

\[\begin{array}{l} \Sigma_{k≥0}C_{-n}^k(-x)^k\\ =\Sigma_{k≥0}(-1)^kx^k\frac{-n(-n-1)......(-n-k+1)}{k!}\\ =\Sigma_{k≥0}x^k\frac{n(n+1)......(n+k-1)}{k!}\\ =\Sigma_{k≥0}x^k\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}\\ =\Sigma_{k≥0}C_{n+k-1}^kx^k \end{array} \]

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按照参考资料^[1]的说法，这个左式是一个比较常见的形式，可以考虑背下来，在遇到类似的算式时往这上面凑。

\(\Sigma_{k=0}^nkC_n^k = n2^{n-1}\)

推导过程

二项式定理:\(\Sigma_{k=0}^nC_n^kx^k=(1+x)^n\)

对等式两边求导得\(\Sigma_{k=1}^nC_n^kkx^{k-1}dx=n(1+x)^{n-1}dx\)

消去dx，代入x=1得\(\Sigma_{k=0}^nC_n^kk=n2^{n-1}dx\)

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继续求导可以得到\(\Sigma_{k=0}^nk(k-1)C_n^k = n(n-1)2^{n-2}\)

范德蒙恒等式 \(\Sigma_{k=0}^rC_n^k*C_m^{r-k} = C_{n+m}^r\)

推导过程

\[(1+x)^n=\Sigma_{k=0}^nC_n^kx^k\\ (1+x)^m=\Sigma_{k=0}^mC_m^kx^k\\ (1+x)^{n+m}=\Sigma_{k=0}^{n+m}C_{n+m}^kx^k \]

在等式\((1+x)^{n+m}=\Sigma_{k=0}^{n+m}C_{n+m}^kx^k\)中,包含\(x^r\)的项是\(C_{n+m}^rx^r\)

在等式\((1+x)^{n+m}=(1+x)^n(1+x)^m\)中,包含\(x^r\)的项是\((\Sigma_{i=0}^n\Sigma_{j=0}^mC_n^iC_m^jx^{i+j}[i+j=r])=\Sigma_{k=0}^rC_n^k*C_m^{r-k}x^r\)

消去\(x^r\)得到\(\Sigma_{k=0}^rC_n^k*C_m^{r-k} = C_{n+m}^r\)

范德蒙恒等式的组合意义

从一个有m+n个物体的堆中不放回地抽取r个物品，抽取方案数等于先从其中的n个物品中抽取k个物品，再从剩下m个物品抽取r-k个物品的方案数的总和。

朱世杰恒等式 \(\Sigma_{k=0}^nC_{m+k}^m=C_{m+n+1}^{m+1}\)

推导过程

\[C_m^m=C_{m+1}^{m+1}\\ C_{m+1}^{m+1}+C_{m+1}^m=C_{m+2}^{m+1}\\ C_{m+2}^{m+1}+C_{m+2}^m=C_{m+3}^{m+1}\\ ......\\ C_{m+n}^{m+1}+C_{m+n}^m=C_{m+n+1}^{m+1} \]

平行求和公式 \(\Sigma_{k=0}^nC_{m+k}^k=C_{m+n+1}^{n}\)

推导过程

\[C_m^0=C_{m+1}^0\\ C_{m+1}^0+C_{m+1}^1=C_{m+2}^1\\ C_{m+2}^1+C_{m+2}^2=C_{m+3}^2\\ ......\\ C_{m+n}^{n-1}+C_{m+n}^n=C_{m+n+1}^n \]

例题

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/108303/D
https://codeforces.com/problemset/problem/2077/C

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1. https://chuna2.787528.xyz/LastKismet/p/18950844 ↩︎